9.7 Um ciclo de ar-padrão Otto tem uma taxa de compressão igual a 8, enquanto a temperatura e a pressāo no início do processo de compressão valem
e
, respectivamente. A massa de ar é
. A adição de calor é de 0,9 Btu. Determine
(a) a temperatura máxima,
.
(b) a pressão máxima, em lbf/in
.
(c) a eficiência térmica.
(d) Para investigar os efeitos da variação da taxa de compressão, esboce graficamente cada uma das grandezas calculadas nos itens (a) até (c) para taxas de compressão variando de 2 a 12 .
(a) a temperatura máxima,
(b) a pressão máxima, em lbf/in
(c) a eficiência térmica.
(d) Para investigar os efeitos da variação da taxa de compressão, esboce graficamente cada uma das grandezas calculadas nos itens (a) até (c) para taxas de compressão variando de 2 a 12 .
Passo 1
O enunciado dá um ciclo Otto com os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- taxa de compressão:
. - temperatura e pressão no início da compressão (estado 1):
e . - massa de ar no cilindro:
. - calor adicionado no processo de volume constante:
.
O que é pedido:
(a) a temperatura máxima do ciclo (isto é,, em );
(b) a pressão máxima (isto é,, em );
(c) a eficiência térmica do ciclo;
(d) esboçar graficamente (ou descrever) como (a)–(c) variam quandovaria de a .
Passo 2
Vou explicar as leis e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
Resumo do ciclo Otto ideal (importante para entender as equações que vou usar):
- 1
2: compressão adiabática reversível (isentrópica) — volume diminui, temperatura aumenta. - 2
3: aquecimento a volume constante — calor é adicionado; a temperatura sobe de para . - 3
4: expansão adiabática reversível (isentrópica). - 4
1: rejeição de calor a volume constante (não precisamos dos detalhes para as partes pedidas além da eficiência).
Fórmulas básicas e significado das variáveis:
- razão de compressão:
. - para um processo isentrópico de gás ideal com razão de calores
(aqui do ar): a relação de temperaturas na compressão é
onde
.
- no aquecimento a volume constante vale (energia por unidade de massa):
onde
é o calor específico a volume constante (por unidade de massa) e
é a massa.
- pressão após compressão isentrópica:
- como 2
3 é volume constante, a pressão escala com a temperatura: , logo
- eficiência térmica ideal do ciclo Otto (fórmula clássica, depende só de
e ):
Valores numéricos/assunções para o ar (valores usuais):
- adotamos
(ar ideal diatômico em condições usuais). - tomamos
e .
Explico rapidinho:é a energia (em Btu) necessária para aumentar 1 R a temperatura de de ar mantendo volume constante. Esses valores são tabelados e comuns em termodinâmica de máquinas térmicas em unidades inglesas; .
Passo 3
Calcular
(temperatura no fim da compressão isentrópica).
Usamos
Usamos
Substituindo
,
e
:
Logo
Passo 4
Calcular
usando o balanço de energia no aquecimento a
const:
Calculemos o incremento de temperatura causado por
:
Primeiro o denominador:
. Assim
Então
Portanto a temperatura máxima do ciclo (ponto 3) é aproximadamente
.
Passo 5
Calcular
e
.
Primeiro
pela relação isentrópica de pressão:
Calcule
.
Então
Então
Agora
: como 2
3 é
const, temos
. Já conhecemos
e
, logo
Portanto a pressão máxima é aproximadamente
.
Passo 6
Calcular a eficiência térmica do ciclo.
A fórmula direta do ciclo Otto ideal é
Explicando a fórmula (rapidinho): para o ciclo Otto ideal a eficiência depende só da razão de compressão
e da razão de calores
; é derivada comparando
e
e usando relações isentrópicas. Não precisamos do
numérico para essa fórmula (é bem útil!).
Com
e
:
Em porcentagem:
.
(Se preferir ver pela definição energética:
com
e usar relações isentrópicas para relacionar
a
, chega-se à mesma expressão.)
Passo 7
Resumo numérico dos itens (a)–(c) (arredondamentos razoáveis):
- (a)
. - (b)
. - (c)
(ou ).
Passo 8
Parte (d) — variação com a razão de compressão
de
a
.
Observações teóricas antes dos números:
-
cresce com . -
com fixo (porque são fixos). Portanto cresce com , mas a parcela fixa faz com que o crescimento não seja só proporcional a . -
cresce fortemente com , porque envolve e também o fator . -
cresce com e tende a quando . Para a dependência é .
Para que você possa esboçar os gráficos com pontos concretos, aqui vai uma tabela com valores representativos para
. (Usei as mesmas fórmulas e os mesmos parâmetros
,
,
,
,
.)
Tabela de resultados (valores aproximados):
- Para
: -
, -
, -
, -
(24{,}23%).
-
- Para
: -
, -
, -
, -
(42{,}56%).
-
- Para
: -
, -
, -
, -
(51{,}15%).
-
- Para
(caso do enunciado): -
, -
, -
, -
(56{,}45%).
-
- Para
: -
, -
, -
, -
(60{,}20%).
-
- Para
: -
, -
, -
, -
(62{,}98%).
-
Como esboçar os gráficos:
- Para
vs : marcar os pontos da tabela e traçar curva crescente, suavemente crescente (crescimento moderado porque , e é grande e fixa). - Para
vs : marcar os pontos; a curva sobe rapidamente (não linear) — cresce muito com . - Para
vs : curva crescente saturante, começando baixa em ( ) e subindo para em , tende a quando teoricamente (mas na prática não alcançável).
Se quiser eu desenho rapidamente os gráficos (em ASCII simples) ou eu gero as curvas numéricas mais densas para plotar no Excel/Matlab — me diga se quer os dados para cada
inteiro entre
e
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Gráficos: e
aumentam com
(
cresce fortemente);
cresce com
segundo
. Valores exemplares para
estão na tabela do Passo 8.
(b)
(c)
(d) Gráficos: