9.7 Um ciclo de ar-padrão Otto tem uma taxa de compressão igual a 8, enquanto a temperatura e a pressāo no início do processo de compressão valem 520^{\circ} \mathrm{R}\left(15,7^{\circ} \mathrm{C}\right) e 14,2 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}(97,9 \mathrm{kPa}), respectivamente. A massa de ar é 0,0015 \mathrm{lb}(0,0007 \mathrm{~kg}). A adição de calor é de 0,9 Btu. Determine
(a) a temperatura máxima, e m{ }^{\circ} \mathrm{R}.
(b) a pressão máxima, em lbf/in { }^{2}.
(c) a eficiência térmica.
(d) Para investigar os efeitos da variação da taxa de compressão, esboce graficamente cada uma das grandezas calculadas nos itens (a) até (c) para taxas de compressão variando de 2 a 12 .

Passo 1

O enunciado dá um ciclo Otto com os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • taxa de compressão: r=8.
  • temperatura e pressão no início da compressão (estado 1): T_1=520\,^\circ\mathrm{R} e p_1=14{,}2\\ \mathrm{lbf/in^2}.
  • massa de ar no cilindro: m=0{,}0015\\ \mathrm{lb}.
  • calor adicionado no processo de volume constante: q_{in}=0{,}9\\ \mathrm{Btu}.
    O que é pedido:
    (a) a temperatura máxima do ciclo (isto é, T_3, em ^\circ\mathrm{R});
    (b) a pressão máxima (isto é, p_3, em \mathrm{lbf/in^2});
    (c) a eficiência térmica do ciclo;
    (d) esboçar graficamente (ou descrever) como (a)–(c) variam quando r varia de 2 a 12.

Passo 2

Vou explicar as leis e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
Resumo do ciclo Otto ideal (importante para entender as equações que vou usar):
  • 1 \to 2: compressão adiabática reversível (isentrópica) — volume diminui, temperatura aumenta.
  • 2 \to 3: aquecimento a volume constante — calor q_{in} é adicionado; a temperatura sobe de T_2 para T_3.
  • 3 \to 4: expansão adiabática reversível (isentrópica).
  • 4 \to 1: rejeição de calor a volume constante (não precisamos dos detalhes para as partes pedidas além da eficiência).
Fórmulas básicas e significado das variáveis:
  • razão de compressão: r=\dfrac{V_1}{V_2}.
  • para um processo isentrópico de gás ideal com razão de calores \gamma (aqui do ar): a relação de temperaturas na compressão é
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1},
onde \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}.
  • no aquecimento a volume constante vale (energia por unidade de massa):
q_{in} = m\, c_v \, (T_3 - T_2),
onde c_v é o calor específico a volume constante (por unidade de massa) e m é a massa.
  • pressão após compressão isentrópica:
p_2 = p_1\, r^{\gamma}.
  • como 2 \to 3 é volume constante, a pressão escala com a temperatura: p_3/p_2 = T_3/T_2, logo
p_3 = p_2\,\frac{T_3}{T_2}.
  • eficiência térmica ideal do ciclo Otto (fórmula clássica, depende só de r e \gamma):
\eta = 1 - \dfrac{1}{r^{\gamma-1}}.
Valores numéricos/assunções para o ar (valores usuais):
  • adotamos \gamma = 1{,}4 (ar ideal diatômico em condições usuais).
  • tomamos c_v = 0{,}171\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ R)} e c_p \approx 0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ R)}.
    Explico rapidinho: c_v é a energia (em Btu) necessária para aumentar 1 ^\circR a temperatura de 1\\ \mathrm{lb} de ar mantendo volume constante. Esses valores são tabelados e comuns em termodinâmica de máquinas térmicas em unidades inglesas; \gamma=c_p/c_v\approx1{,}4.

Passo 3

Calcular T_2 (temperatura no fim da compressão isentrópica).
Usamos
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1}.
Substituindo T_1=520, r=8 e \gamma-1=0{,}4:
r^{\gamma-1} = 8^{0{,}4}\approx 2{,}296.
Logo
T_2 = 520 \times 8^{0{,}4} \approx 520 \times 2{,}296 \approx 1193{,}92\\ \!^\circ\mathrm{R}.

Passo 4

Calcular T_3 usando o balanço de energia no aquecimento a V= const:
q_{in} = m\, c_v \,(T_3 - T_2)\quad\Longrightarrow\quad T_3 = T_2 + \dfrac{q_{in}}{m\,c_v}.
Calculemos o incremento de temperatura causado por q_{in}:
\Delta T \equiv \dfrac{q_{in}}{m\,c_v} = \dfrac{0{,}9\\ \mathrm{Btu}}{0{,}0015\\ \mathrm{lb}\times 0{,}171\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ R)}}.
Primeiro o denominador: 0{,}0015\times 0{,}171=0{,}0002565. Assim
\Delta T \approx \dfrac{0{,}9}{0{,}0002565}\approx 3510{,}81\\ \!^\circ\mathrm{R}.
Então
T_3 = T_2 + \Delta T \approx 1193{,}92 + 3510{,}81 \approx 4704{,}73\\ \!^\circ\mathrm{R}.
Portanto a temperatura máxima do ciclo (ponto 3) é aproximadamente \,4704{,}7\\ ^\circ\mathrm{R}.

Passo 5

Calcular p_2 e p_3.
Primeiro p_2 pela relação isentrópica de pressão:
p_2 = p_1\, r^{\gamma} = p_1\, r^{1{,}4}.
Calcule r^{1{,}4}=8^{1{,}4}=8\times 8^{0{,}4}\approx 8\times 2{,}296\approx 18{,}368.
Então
p_2 = 14{,}2 \times 18{,}368 \approx 260{,}83\\ \mathrm{lbf/in^2}.
Agora p_3: como 2 \to3 é V=const, temos p_3 = p_2\,\dfrac{T_3}{T_2}. Já conhecemos T_3 e T_2, logo
p_3 \approx 260{,}83 \times \dfrac{4704{,}73}{1193{,}92} \approx 260{,}83 \times 3{,}9417 \approx 1028{,}84\\ \mathrm{lbf/in^2}.
Portanto a pressão máxima é aproximadamente \,1028{,}8\\ \mathrm{lbf/in^2}.

Passo 6

Calcular a eficiência térmica do ciclo.
A fórmula direta do ciclo Otto ideal é
\eta = 1 - \dfrac{1}{r^{\gamma-1}}.
Explicando a fórmula (rapidinho): para o ciclo Otto ideal a eficiência depende só da razão de compressão r e da razão de calores \gamma; é derivada comparando q_{in} e q_{out} e usando relações isentrópicas. Não precisamos do q_{in} numérico para essa fórmula (é bem útil!).
Com r=8 e \gamma-1=0{,}4:
\eta = 1 - \dfrac{1}{8^{0{,}4}} = 1 - \dfrac{1}{2{,}296} \approx 1 - 0{,}4355 \approx 0{,}5645.
Em porcentagem: \eta \approx 56{,}45\%.
(Se preferir ver pela definição energética: \eta = 1 - \dfrac{q_{out}}{q_{in}} com q_{out}=m c_v (T_4-T_1) e usar relações isentrópicas para relacionar T_4 a T_3, chega-se à mesma expressão.)

Passo 7

Resumo numérico dos itens (a)–(c) (arredondamentos razoáveis):
  • (a) T_3 \approx 4704{,}7\\ ^\circ\mathrm{R}.
  • (b) p_3 \approx 1028{,}8\\ \mathrm{lbf/in^2}.
  • (c) \eta \approx 0{,}5645 (ou 56{,}45\%).

Passo 8

Parte (d) — variação com a razão de compressão r de 2 a 12.
Observações teóricas antes dos números:
  • T_2 = T_1 r^{\gamma-1} cresce com r.
  • T_3 = T_2 + \Delta T com \Delta T fixo (porque q_{in}, m, c_v são fixos). Portanto T_3 cresce com r, mas a parcela fixa \Delta T faz com que o crescimento não seja só proporcional a r^{\gamma-1}.
  • p_3 cresce fortemente com r, porque envolve r^{\gamma} e também o fator T_3/T_2.
  • \eta = 1-1/r^{\gamma-1} cresce com r e tende a 1 quando r\to\infty. Para \gamma=1{,}4 a dependência é \eta=1-1/r^{0{,}4}.
Para que você possa esboçar os gráficos com pontos concretos, aqui vai uma tabela com valores representativos para r=2,4,6,8,10,12. (Usei as mesmas fórmulas e os mesmos parâmetros T_1=520, p_1=14{,}2, m=0{,}0015, q_{in}=0{,}9, c_v=0{,}171.)
Tabela de resultados (valores aproximados):
  • Para r=2:
    • T_2\approx 686{,}15\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • T_3\approx 4196{,}96\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • p_3\approx 229{,}36\\ \mathrm{lbf/in^2},
    • \eta\approx 0{,}2423 (24{,}23%).
  • Para r=4:
    • T_2\approx 905{,}37\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • T_3\approx 4416{,}18\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • p_3\approx 482{,}79\\ \mathrm{lbf/in^2},
    • \eta\approx 0{,}4256 (42{,}56%).
  • Para r=6:
    • T_2\approx 1064{,}77\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • T_3\approx 4575{,}58\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • p_3\approx 749{,}58\\ \mathrm{lbf/in^2},
    • \eta\approx 0{,}5115 (51{,}15%).
  • Para r=8 (caso do enunciado):
    • T_2\approx 1193{,}92\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • T_3\approx 4704{,}73\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • p_3\approx 1028{,}84\\ \mathrm{lbf/in^2},
    • \eta\approx 0{,}5645 (56{,}45%).
  • Para r=10:
    • T_2\approx 1306{,}18\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • T_3\approx 4816{,}99\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • p_3\approx 1315{,}9\\ \mathrm{lbf/in^2},
    • \eta\approx 0{,}6020 (60{,}20%).
  • Para r=12:
    • T_2\approx 1405{,}01\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • T_3\approx 4915{,}82\\ \!^\circ\mathrm{R},
    • p_3\approx 1609{,}0\\ \mathrm{lbf/in^2},
    • \eta\approx 0{,}6298 (62{,}98%).
Como esboçar os gráficos:
  • Para T_3 vs r: marcar os pontos da tabela e traçar curva crescente, suavemente crescente (crescimento moderado porque T_3=T_2+\Delta T, e \Delta T é grande e fixa).
  • Para p_3 vs r: marcar os pontos; a curva sobe rapidamente (não linear) — p_3 cresce muito com r.
  • Para \eta vs r: curva crescente saturante, começando baixa em r=2 ( \sim24\%) e subindo para \sim63\% em r=12, tende a 100\% quando r\to\infty teoricamente (mas na prática não alcançável).
Se quiser eu desenho rapidamente os gráficos (em ASCII simples) ou eu gero as curvas numéricas mais densas para plotar no Excel/Matlab — me diga se quer os dados para cada r inteiro entre 2 e 12.

Resposta

(a) T_3 \approx 4704{,}7\\ \!^\circ\mathrm{R}
(b) p_3 \approx 1028{,}8\\ \mathrm{lbf/in^2}
(c) \eta \approx 0{,}5645 \,(\approx 56{,}45\%)
(d) Gráficos: T_3 e p_3 aumentam com r ( p_3 cresce fortemente); \eta cresce com r segundo \eta=1-1/r^{0{,}4}. Valores exemplares para r=2,4,6,8,10,12 estão na tabela do Passo 8.

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