Seja
uma função derivável e considere a função
. Sabendo que
no intervalo
, o que sabemos sobre
?
(a)
é crescente no intervalo
.
(b)
é decrescente no intervalo
.
©
atinge um valor máximo.
(d)
atinge um valor mínimo.
(e)
atinge um valor máximo e um valor mínimo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
onde
é derivável. A gente precisa descobrir o comportamento de
no intervalo de
positivo, usando a condição
. Vamos precisar usar derivadas para ver se
está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Lembrando que para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente:
Passo 3
Simplificando a derivada:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
. O denominador
é sempre positivo, já que é o quadrado de
. O fator
também é positivo para todo
.
Então, o sinal de
depende apenas de
. Pela condição dada no enunciado, sabemos que
, ou seja,
.
Passo 5
Como
é o produto de termos positivos, concluímos que
para todo
. Isso significa que a função
está sempre aumentando no intervalo considerado.
Resposta
(a)
é crescente no intervalo
.