Seja g(x) uma função derivável e considere a função h(x) = x^3 / g(x). Sabendo que 3 g(x) > x g'(x) no intervalo (0, infinito), o que sabemos sobre h(x) ?
(a) h(x) é crescente no intervalo (0, infinito).
(b) h(x) é decrescente no intervalo (0, infinito).
© h(x) atinge um valor máximo.
(d) h(x) atinge um valor mínimo.
(e) h(x) atinge um valor máximo e um valor mínimo.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função onde é derivável. A gente precisa descobrir o comportamento de no intervalo de positivo, usando a condição . Vamos precisar usar derivadas para ver se está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Lembrando que para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente:

Passo 3

Simplificando a derivada:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada . O denominador é sempre positivo, já que é o quadrado de . O fator também é positivo para todo .
Então, o sinal de depende apenas de . Pela condição dada no enunciado, sabemos que , ou seja, .

Passo 5

Como é o produto de termos positivos, concluímos que para todo . Isso significa que a função está sempre aumentando no intervalo considerado.

Resposta

(a) é crescente no intervalo .

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