S-3.43 Utilizando o Pequeno Teorema de Fermat, enunciado acima, mostre que se
um número primo, com
, então
divide infinitos elementos da sequência
Mostre também que
divide infinitos elementos da sequência
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um primo
, existem infinitos termos da sequência
que são divisíveis por
, e também que existem infinitos termos da sequência
divisíveis por
. Vamos usar o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que, se
é primo e não divide um inteiro
, então
Passo 2
Observe que
implica
não divide
. Aplicando Fermat com
temos
Isto mostra que o número decimal formado por
dígitos 9, isto é
é divisível por
.
Passo 3
Para ver que há infinitos termos em
divisíveis por
, note que para qualquer
vale
Logo cada termo
é múltiplo de
, e como há infinitos
, há infinitos tais termos.
Passo 4
Agora cuide da sequência
Cada termo pode ser escrito como
De
e do fato de
implicar
não divide
, segue que
é divisível por
. Mais ainda, para todo
,
Passo 5
Concluímos que, para cada primo
, existem infinitos
tais que
e infinitos
tais que
. Portanto,
divide infinitos elementos de ambas as sequências.
Resposta
Para todo primo
, os termos de índice múltiplo de
em ambas as sequências são divisíveis por
. Como há infinitos múltiplos de
,
divide infinitos elementos de cada sequência.