S-3.43 Utilizando o Pequeno Teorema de Fermat, enunciado acima, mostre que se p um número primo, com p neq 2,5, então p divide infinitos elementos da sequência 9,99,999,9999, ldots Mostre também que p divide infinitos elementos da sequência 1,11,111,1111, ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um primo pneq2,5, existem infinitos termos da sequência
9,;99,;999,;9999,dots
que são divisíveis por p, e também que existem infinitos termos da sequência
1,;11,;111,;1111,dots
divisíveis por p. Vamos usar o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que, se p é primo e não divide um inteiro a, então
a^p-1equiv1pmod p

Passo 2

Observe que pneq2,5 implica p não divide 10. Aplicando Fermat com a=10 temos
10^p-1equiv1pmod p Longrightarrow 10^p-1-1equiv0pmod p
Isto mostra que o número decimal formado por p-1 dígitos 9, isto é
ap-1=10^p-1-1,
é divisível por p.

Passo 3

Para ver que há infinitos termos em
9,;99,;999,;dots
divisíveis por p, note que para qualquer kinN vale
10^k(p-1)-1 =l(10^p-1r)^k-1equiv1^k-1equiv0pmod p
Logo cada termo
ak(p-1)=10^k(p-1)-1
é múltiplo de p, e como há infinitos k, há infinitos tais termos.

Passo 4

Agora cuide da sequência
1,;11,;111,;1111,dots
Cada termo pode ser escrito como
bn=10^n-19
De 10^p-1-1equiv0pmod p e do fato de pneq3 implicar p não divide 9, segue que
bp-1=10^p-1-19
é divisível por p. Mais ainda, para todo k,
10^k(p-1)-1equiv0pmod p Longrightarrow bk(p-1)=10^k(p-1)-19equiv0pmod p

Passo 5

Concluímos que, para cada primo pneq2,5, existem infinitos k tais que pmid ak(p-1) e infinitos k tais que pmid bk(p-1). Portanto, p divide infinitos elementos de ambas as sequências.

Resposta

Para todo primo pneq2,5, os termos de índice múltiplo de p-1 em ambas as sequências são divisíveis por p. Como há infinitos múltiplos de p-1, p divide infinitos elementos de cada sequência.

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