S-3.42 Mostre que 42 divide n^7-n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n, o número
n^7-n
é divisível por 42. Como 42=2cdot3cdot7 e 2,3,7 são primos distintos, basta provar que
n^7-n
é divisível por cada um deles.

Passo 2

Verificamos a divisibilidade por 2. Se n é par, então claramente n^7 e n são pares, logo n^7-n é par. Se n é ímpar, então nequiv1pmod2 e
n^7-nequiv1^7-1equiv0pmod2
Assim, em qualquer caso 2mid(n^7-n).

Passo 3

Verificamos a divisibilidade por 3. Pelo pequeno teorema de Fermat, para todo n não divisível por 3 vale
n^2equiv1pmod3Longrightarrow n^6=(n^2)^3equiv1^3equiv1pmod3
Então
n^7-n = nl(n^6-1r)equiv n(1-1)equiv0pmod3
Se n for múltiplo de 3, então obviamente 3mid n e 3mid(n^7-n). Logo 3mid(n^7-n) em todo caso.

Passo 4

Verificamos a divisibilidade por 7. O pequeno teorema de Fermat diz que, para todo n não múltiplo de 7,
n^6equiv1pmod7Longrightarrow n^7=ncdot n^6equiv ncdot1equiv npmod7
Logo
n^7-nequiv0pmod7
Se n for múltiplo de 7, então 7mid n e, portanto, 7mid(n^7-n). Assim 7mid(n^7-n) em todo caso.

Passo 5

Como n^7-n é múltiplo de 2, de 3 e de 7, e esses primos são distintos, segue que
mcm(2,3,7)=42
divide n^7-n.

Resposta

Para todo inteiro n, 42 divide n^7-n.

Exercícios relacionados