S-3.42 Mostre que 42 divide
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, o número
é divisível por
. Como
e
são primos distintos, basta provar que
é divisível por cada um deles.
Passo 2
Verificamos a divisibilidade por
. Se
é par, então claramente
e
são pares, logo
é par. Se
é ímpar, então
e
Assim, em qualquer caso
.
Passo 3
Verificamos a divisibilidade por
. Pelo pequeno teorema de Fermat, para todo
não divisível por
vale
Então
Se
for múltiplo de
, então obviamente
e
. Logo
em todo caso.
Passo 4
Verificamos a divisibilidade por
. O pequeno teorema de Fermat diz que, para todo
não múltiplo de
,
Logo
Se
for múltiplo de
, então
e, portanto,
. Assim
em todo caso.
Passo 5
Como
é múltiplo de
, de
e de
, e esses primos são distintos, segue que
divide
.
Resposta
Para todo inteiro
,
divide
.