S-3.45 Ache o menor número natural que possui exatamente seis divisores positivos. Faça o mesmo para 15 divisores e para 100 divisores.

Passo 1

O enunciado pede para achar o menor natural n tal que o número de divisores positivos de n seja, respectivamente, 6, 15 e 100. O conteúdo envolvido é a função divisor e fatoração em primos.

Passo 2

Seja
n = p1^a1p2^a2cdots pk^ak
a fatoração de n em primos distintos p1<p2<cdots<pk. Então o número de divisores de n é
d(n) = (a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)
Para minimizar n dado um produto fixo de fatores (ai+1), a estratégia é usar o menor número possível de primos e atribuir os maiores expoentes aos menores primos.

Passo 3

Caso d(n)=6. As decomposições de 6 em inteiros maiores que 1 são
6 = 6 e 6 = 3cdot2
– Para 6=6 temos a1+1=6implies a1=5 e n=2^5=32.
– Para 6=3cdot2 temos a1+1=3 e a2+1=2, ou seja a1=2, a2=1 e
n = 2^2cdot3^1 = 12
O menor dos dois é 12.

Passo 4

Caso d(n)=15. As decomposições de 15 em inteiros maiores que 1 são
15 = 15 e 15 = 5cdot3
– Para 15=15 vem a1=14 e n=2^14=16384.
– Para 15=5cdot3 vem a1=4, a2=2 e
n = 2^4cdot3^2 = 16cdot9 = 144
O menor é 144.

Passo 5

Caso d(n)=100. Provamos várias factorização de 100 em inteiros maiores que 1 e calculamos o n correspondente atribuindo maiores expoentes aos menores primos. A fatoração que dá o menor n é
100 = 2cdot2cdot5cdot5,
ou seja (a1+1,a2+1,a3+1,a4+1)=(2,2,5,5), daí (a1,a2,a3,a4)=(1,1,4,4) e
n = 2^4cdot3^4cdot5^1cdot7^1 = 45360

Resposta

Menor n com exatamente 6 divisores: 12.
Menor n com exatamente 15 divisores: 144.
Menor n com exatamente 100 divisores: 45360.

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