S-3.45 Ache o menor número natural que possui exatamente seis divisores positivos. Faça o mesmo para 15 divisores e para 100 divisores.
Passo 1
O enunciado pede para achar o menor natural
tal que o número de divisores positivos de
seja, respectivamente,
,
e
. O conteúdo envolvido é a função divisor e fatoração em primos.
Passo 2
Seja
a fatoração de
em primos distintos
. Então o número de divisores de
é
Para minimizar
dado um produto fixo de fatores
, a estratégia é usar o menor número possível de primos e atribuir os maiores expoentes aos menores primos.
Passo 3
Caso
. As decomposições de
em inteiros maiores que 1 são
– Para
temos
e
.
– Para temos
e
, ou seja
,
e
– Para
O menor dos dois é
.
Passo 4
Caso
. As decomposições de
em inteiros maiores que 1 são
– Para
vem
e
.
– Para vem
,
e
– Para
O menor é
.
Passo 5
Caso
. Provamos várias factorização de
em inteiros maiores que 1 e calculamos o
correspondente atribuindo maiores expoentes aos menores primos. A fatoração que dá o menor
é
ou seja
, daí
e
Resposta
Menor
com exatamente
divisores:
.
Menor com exatamente
divisores:
.
Menor com exatamente
divisores:
.
Menor
Menor