S-3.44 Quantos divisores positivos tem um número primo
? E
? E
, com
e
primos distintos?
Passo 1
O enunciado pede que a gente conte o número de divisores positivos nos casos:
(número primo),
e
com
e
primos distintos. O conteúdo envolvido é a função que conta divisores (às vezes denotada por
ou
) e a fatoração única de números inteiros.
Passo 2
Teorema geral: se um inteiro
tem fatoração
então o número de divisores positivos de
é
Isso vem do fato de que, para cada primo
, um divisor pode usar
em qualquer expoente de
a
.
Passo 3
Caso
com
primo. Aqui a fatoração é
, ou seja,
e
. Logo,
Isso faz sentido: os divisores de um primo são apenas
e ele próprio.
Passo 4
Caso
. A fatoração tem um único primo com expoente
, então
Interpretando, podemos escolher o expoente de
de
até
, dando
possibilidades.
Passo 5
Caso
com
primos. Aqui
,
e
, então
Isso vem de escolher independentemente o expoente de
(de
a
) e o de
(de
a
).
Resposta
Para
primo:
Para :
Para :
Para
Para