S-3.44 Quantos divisores positivos tem um número primo p ? E p^n ? E p^n times q^m, com p e q primos distintos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente conte o número de divisores positivos nos casos: ,p (número primo), ,p^n e ,p^ntimes q^m com p e q primos distintos. O conteúdo envolvido é a função que conta divisores (às vezes denotada por tau ou d) e a fatoração única de números inteiros.

Passo 2

Teorema geral: se um inteiro N tem fatoração
N = p1^a1 ,p2^a2cdots pk^ak,
então o número de divisores positivos de N é
tau(N) = (a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)
Isso vem do fato de que, para cada primo pi, um divisor pode usar pi em qualquer expoente de 0 a ai.

Passo 3

Caso N=p com p primo. Aqui a fatoração é p^1, ou seja, k=1 e a1=1. Logo,
tau(p) = (1+1) = 2
Isso faz sentido: os divisores de um primo são apenas 1 e ele próprio.

Passo 4

Caso N=p^n. A fatoração tem um único primo com expoente n, então
tau(p^n) = (n+1)
Interpretando, podemos escolher o expoente de p de 0 até n, dando n+1 possibilidades.

Passo 5

Caso N = p^n times q^m com pneq q primos. Aqui k=2, a1=n e a2=m, então
taul(p^n q^mr) = (n+1),(m+1)
Isso vem de escolher independentemente o expoente de p (de 0 a n) e o de q (de 0 a m).

Resposta

Para p primo: ;2
Para p^n: ;n+1
Para p^ntimes q^m: ;(n+1)(m+1)

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