[44] Dada a superfície x^2+2 y^2+3 z^2=21, determine as equações dos planos tangentes que são paralelos ao plano x+4 y+6 z=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações dos planos tangentes à superfície x^2+2y^2+3z^2=21 que sejam paralelos ao plano x+4y+6z=0. O conteúdo envolve superfícies definidas implicitamente, gradiente para obter o vetor normal ao plano tangente e condição de paralelismo entre vetores normais.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21
O gradiente de F é perpendicular ao plano tangente e dado por
nabla F(x,y,z)=(2x,;4y,;6z)

Passo 3

Para que o plano tangente seja paralelo ao plano dado x+4y+6z=0, seus vetores normais devem ser paralelos. Logo, existe lambda tal que
(2x,4y,6z)=lambda,(1,4,6)
Desse sistema obtemos
2x=lambda,4y=4lambda;Rightarrow;y=lambda,6z=6lambda;Rightarrow;z=lambda, x=tfraclambda2

Passo 4

Como o ponto (x,y,z)=(tfraclambda2,lambda,lambda) deve satisfazer a superfície, substituímos em x^2+2y^2+3z^2=21:
l(tfraclambda2r)^2+2lambda^2+3lambda^2=21Rightarrowtfraclambda^24+5lambda^2=21Rightarrowtfrac21lambda^24=21Rightarrowlambda^2=4;Rightarrow;lambda=pm2
Assim os pontos são (1,2,2) e (-1,-2,-2).

Passo 5

Para cada ponto P=(x0,y0,z0) a equação do plano tangente é
nabla F(P)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Como nabla F em ambos os pontos é paralelo a (1,4,6), podemos usar esse vetor normal. No ponto (1,2,2):
1(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0Rightarrow x+4y+6z-21=0
No ponto (-1,-2,-2):
1(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0Rightarrow x+4y+6z+21=0

Resposta

As equações dos planos tangentes são:
x+4y+6z-21=0e x+4y+6z+21=0

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