[44] Dada a superfície
, determine as equações dos planos tangentes que são paralelos ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede as equações dos planos tangentes à superfície
que sejam paralelos ao plano
. O conteúdo envolve superfícies definidas implicitamente, gradiente para obter o vetor normal ao plano tangente e condição de paralelismo entre vetores normais.
Passo 2
Definimos a função implícita
O gradiente de
Passo 3
Para que o plano tangente seja paralelo ao plano dado
, seus vetores normais devem ser paralelos. Logo, existe
tal que
Desse sistema obtemos
Passo 4
Como o ponto
deve satisfazer a superfície, substituímos em
:
Assim os pontos são
Passo 5
Para cada ponto
a equação do plano tangente é
Como
No ponto
:
Resposta
As equações dos planos tangentes são: