Seja a in R tal que a. Determine .

Passo 1

Estamos lidando com um limite do tipo (1+varepsilon(x))^x quando xto+infty, que geralmente dá uma forma exponencial. O objetivo é encontrar o valor de a em limxto+inftyl((ax-1)/(ax+1)r)^x=4.

Passo 2

Reescrevendo o quociente de forma que fique próximo de 1:
ax-1ax+1=1-2ax+1

Passo 3

Para aproveitar a forma (1+varepsilon)^x, aplicamos logaritmo e usamos a expansão ln(1+varepsilon)approxvarepsilon quando varepsilonto0. Seja
L=limxto+inftyl(1-2ax+1r)^x=expl(limxto+inftyxlnl(1-tfrac2ax+1r)r)
Para o termo no expoente, temos
xlnl(1-2ax+1r)approx -2xax+1longrightarrow -2a
Logo, o limite vale exp(-2/a).

Passo 4

Para satisfazer exp(-2/a)=4, igualamos:
-2a=ln4Longrightarrow a=-2ln4=-1ln2

Resposta

a=-\frac{1}{\ln2}

Exercícios relacionados