Calcule:
lim x 2 x^2-2 x(x-2)^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto2x^2-2x(x-2)^2. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e vamos precisar fatorar o numerador e simplificar a expressão antes de estudar o comportamento quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador x^2-2x usando fator comum:
x^2-2x = x(x-2)

Passo 3

Então a expressão fica, para xneq2:
$$\frac{x2-2x}{(x-2)2} = \frac{x(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{x}{x-2}
$$

Passo 4

Agora analisamos o limite de xx-2 quando xto2. Precisamos olhar os dois lados:
  • Se xto2^+, então x-2>0 pequeno e xapprox2 positivo, logo xx-2to +infty.
  • Se xto2^-, então x-2<0 pequeno e xapprox2 positivo, logo xx-2to -infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um vai a +infty e o outro a -infty), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge, pois os limites laterais dão +∞ e -∞).

Exercícios relacionados