44 (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por
, sendo
a quantidade mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar
para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar
Passo 1
O enunciado dá o lucro mensal como
sendo
a quantidade vendida. Precisamos (i) encontrar o máximo de uma função quadrática côncava (vértice) e (ii) determinar para quais
vale
(inequação quadrática).
Passo 2
Como a parábola tem coeficiente de
negativo (
), o vértice fornece o valor máximo. A abscissa do vértice é
onde
e
. Assim,
Passo 3
O lucro máximo é
Passo 4
Para achar os
com
, escrevemos
e reorganizamos:
Multiplicando por
(invertendo a desigualdade):
Passo 5
A equação
tem discriminante
logo as raízes são
Como o coeficiente de
é positivo, a inequação é satisfeita entre as raízes. Portanto
Resposta
a) O lucro máximo é
.
b) O lucro é pelo menos quando
.
b) O lucro é pelo menos