44 (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L=-x^2+30 x-5, sendo x a quantidade mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?

Passo 1

O enunciado dá o lucro mensal como
L(x) = -x^2 + 30x - 5,
sendo x a quantidade vendida. Precisamos (i) encontrar o máximo de uma função quadrática côncava (vértice) e (ii) determinar para quais x vale L(x)>=195 (inequação quadrática).

Passo 2

Como a parábola tem coeficiente de x^2 negativo ( a=-1), o vértice fornece o valor máximo. A abscissa do vértice é
xv = -b2a,
onde a=-1 e b=30. Assim,
xv = -302cdot(-1) = 15

Passo 3

O lucro máximo é
L(15) = -(15)^2 + 30cdot15 - 5 = -225 + 450 - 5 = 220

Passo 4

Para achar os x com L(x)>=195, escrevemos
-x^2 + 30x - 5 >= 195
e reorganizamos:
-x^2 + 30x - 200 >= 0
Multiplicando por -1 (invertendo a desigualdade):
x^2 - 30x + 200 <= 0

Passo 5

A equação x^2 - 30x + 200 = 0 tem discriminante
De<a = (-30)^2 - 4cdot1cdot200 = 100,
logo as raízes são
x = 30 pm 102 = 10,;20
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação é satisfeita entre as raízes. Portanto
L(x)>=195para 10 <= x <= 20

Resposta

a) O lucro máximo é 220.
b) O lucro é pelo menos 195 quando 10 <= x <= 20.

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