Mostre que

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=sen x &se x<pi/4 cos x &se x>=pi/4
e a tarefa é mostrar que ela é contínua em todo (- ablainfty,infty), ou seja, verificar continuidade em cada parte e no ponto de transição.

Passo 2

Sabendo que as funções elementares sen x e cos x são contínuas em R, concluímos que f é contínua em (- ablainfty,pi/4) e em (pi/4,infty) sem problema.

Passo 3

Resta checar a continuidade em x0=pi/4. Fazemos:
limxto(pi/4)^-f(x)=limxto(pi/4)^-sen x=sen(pi/4)=raiz22
limxto(pi/4)^+f(x)=limxto(pi/4)^+cos x=cos(pi/4)=raiz22
E o valor da própria função é
f(pi/4)=cos(pi/4)=raiz22
Como os três são iguais, há continuidade em pi/4.

Passo 4

Juntando tudo, f é contínua em cada intervalo e também em pi/4, logo é contínua em todo (- ablainfty,infty).

Resposta

A função f é contínua em todo o domínio (- ablainfty,infty).

Exercícios relacionados