Encontre as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-12, partial fpartial z(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial partial fpartial z de
f(x,y,z) = l(x^2+y^2+z^2r)^-tfrac12
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y,z) = x^2+y^2+z^2
e a função externa
g(u) = u^-tfrac12
Sabemos que
g'(u) = -tfrac12,u^-tfrac32

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de u em relação a z:
partial upartial z = 2z

Passo 4

Pela regra da cadeia,
partial fpartial z = g'(u),partial upartial z = l(-tfrac12,u^-tfrac32r),(2z) = -z,u^-tfrac32 = -z,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac32

Resposta

partial fpartial z(x,y,z) = -zl(x^2+y^2+z^2r)^3/2

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