Sejam
. Em cada um dos itens a seguir, considere a função
definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre
, com base nas hipóteses dadas sobre
e
.
Passo 1
O enunciado fala que temos duas funções
num ponto de acumulação
, com
e define
. O conteúdo aqui é aplicar as regras de limite de quociente quando o numerador diverge para
e o denominador converge a um valor finito não nulo.
Passo 2
Como
, existe
tal que, para
,
Isso garante que
é diferente de zero numa vizinhança de
(sem contar
), de modo que
está bem definida e podemos falar de
.
Passo 3
Pela mesma desigualdade,
quando
está suficientemente próximo de
. Além disso, como
, vale
Passo 4
Agora escrevemos
Usando a regra do produto de limites em que um fator tende a
e o outro tende a
, obtemos
Passo 5
Finalmente, como multiplicar
por um número positivo dá
e por um número negativo dá
, concluímos
- se
, então ; - se
, então .
Resposta
Se
, então
.
Se , então
.
Se