Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=+infty, lim x x0 g(x)=a in R backslash0, h(x)=f(x)g(x)

Passo 1

O enunciado fala que temos duas funções f,g: DsubsetRtoR num ponto de acumulação x0, com
limxto x0f(x)=+infty, limxto x0g(x)=ainRsetminus0,
e define h(x)=dfracf(x)g(x). O conteúdo aqui é aplicar as regras de limite de quociente quando o numerador diverge para +infty e o denominador converge a um valor finito não nulo.

Passo 2

Como limxto x0g(x)=aneq 0, existe de<a>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a,
|g(x)-a|<|a|2 Longrightarrow |g(x)|>|a|2>0
Isso garante que g(x) é diferente de zero numa vizinhança de x0 (sem contar x0), de modo que h(x) está bem definida e podemos falar de tfrac1g(x).

Passo 3

Pela mesma desigualdade, sgn,g(x)=sgn,a quando x está suficientemente próximo de x0. Além disso, como g(x)to a, vale
limxto x01g(x) = 1a

Passo 4

Agora escrevemos
h(x) ;=;f(x)g(x) ;=; f(x),cdot1g(x)
Usando a regra do produto de limites em que um fator tende a +infty e o outro tende a tfrac1aneq 0, obtemos
limxto x0h(x) =limxto x0f(x);times;limxto x01g(x) =+infty;times;1a

Passo 5

Finalmente, como multiplicar +infty por um número positivo dá +infty e por um número negativo dá -infty, concluímos
  • se a>0, então limxto x0h(x)=+infty;
  • se a<0, então limxto x0h(x)=-infty.

Resposta

Se a>0, então limxto x0f(x)g(x)=+infty.
Se a<0, então limxto x0f(x)g(x)=-infty.

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