Sejam
. Em cada um dos itens a seguir, considere a função
definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre
, com base nas hipóteses dadas sobre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e um ponto aderente
tais que
e
. Definimos então
e queremos discutir o que se pode afirmar sobre
. O conteúdo aqui é análise de forma indeterminada do tipo “
”.
Passo 2
Em teoria de limites, quando um fator tende a
e o outro tende a
, o produto pode:
- Convergir para um número real finito;
- Divergir para
ou ; - Convergir para
; - Não ter limite (oscilar ou não se estabilizar).
Por isso dizemos que “” é uma forma indeterminada — sem mais informação sobre as velocidades de crescimento e decaimento, não há conclusão única.
Passo 3
Para ilustrar, sem perda de generalidade assuma
(caso geral usa-se
em vez de
) e tome exemplos de
e
em
:
-
, .
Então, e logo. -
, .
Aqui, e -
, .
Novamente, e -
, .
Temos, e que não tem limite quando(oscila e diverge).
Passo 4
Esses exemplos mostram que, com apenas
e
, o produto
pode tender a qualquer valor finito ou infinito, ou nem mesmo ter limite. Logo não se pode afirmar mais nada sem hipóteses adicionais sobre a taxa de crescimento de
e de decaimento de
.
Resposta
A forma
é indeterminada, e portanto não há valor único para
sem informações extras.