Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=+infty, lim x x0 g(x)=0, h(x)=f(x) cdot g(x)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f,g:DsubsetRtoR e um ponto aderente x0in D' tais que
limxto x0f(x)=+infty e limxto x0g(x)=0. Definimos então
h(x)=f(x)cdot g(x)
e queremos discutir o que se pode afirmar sobre limxto x0h(x). O conteúdo aqui é análise de forma indeterminada do tipo “ inftycdot 0”.

Passo 2

Em teoria de limites, quando um fator tende a +infty e o outro tende a 0, o produto pode:
  • Convergir para um número real finito;
  • Divergir para +infty ou -infty;
  • Convergir para 0;
  • Não ter limite (oscilar ou não se estabilizar).
    Por isso dizemos que “ inftycdot 0” é uma forma indeterminada — sem mais informação sobre as velocidades de crescimento e decaimento, não há conclusão única.

Passo 3

Para ilustrar, sem perda de generalidade assuma x0=0 (caso geral usa-se x-x0 em vez de x) e tome exemplos de f e g em D=Rsetminus0:
  1. f(x)=dfrac1x^2, g(x)=x^2.
    Então limxto0f(x)=+infty, limxto0g(x)=0 e
    h(x)=1x^2cdot x^2=1,
    logo limxto0h(x)=1.
  2. f(x)=dfrac1x^4, g(x)=x^2.
    Aqui limxto0f(x)=+infty, limxto0g(x)=0 e
    h(x)=1x^4cdot x^2=1x^2to+infty
  3. f(x)=dfrac1x^2, g(x)=x^3.
    Novamente lim f=+infty, lim g=0 e
    h(x)=1x^2cdot x^3=xto0
  4. f(x)=dfrac1x^2, g(x)=xsinl(tfrac1xr).
    Temos lim f=+infty, lim g=0 e
    h(x)=1x^2cdot xsinl(tfrac1xr) =sin(1/x)x,
    que não tem limite quando xto0 (oscila e diverge).

Passo 4

Esses exemplos mostram que, com apenas lim f=+infty e lim g=0, o produto h(x)=f(x)g(x) pode tender a qualquer valor finito ou infinito, ou nem mesmo ter limite. Logo não se pode afirmar mais nada sem hipóteses adicionais sobre a taxa de crescimento de f e de decaimento de g.

Resposta

A forma inftycdot0 é indeterminada, e portanto não há valor único para limxto x0h(x) sem informações extras.

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