Obtenha a série de Maclaurin para
e determine seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência. O conteúdo envolve séries de Taylor/Maclaurin, aplicação da fórmula de adição de cosseno
e as expansões padrões de
e
.
Passo 2
Usamos a identidade de adição de ângulo com
e
:
Passo 3
Agora escrevemos as séries de Maclaurin de
e
em
:
Passo 4
Substituindo essas séries em
obtemos
Passo 5
Cada uma dessas séries (de
e
) tem raio de convergência infinito. Usando o critério da razão ou sabendo que
e
são inteiras, concluímos que a série de
também converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
Raio de convergência:
.