Obtenha a série de Maclaurin para f(x)=\cos \left(x^{2}+1\right) e determine seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) e seu raio de convergência. O conteúdo envolve séries de Taylor/Maclaurin, aplicação da fórmula de adição de cosseno \cos(a+b) e as expansões padrões de \cos(u) e \sin(u).

Passo 2

Usamos a identidade de adição de ângulo com a=1 e u=x^{2}:
\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)=\cos(1)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\;-\;\sin(1)\,\sin\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 3

Agora escrevemos as séries de Maclaurin de \cos(u) e \sin(u) em u=x^{2}:
\cos\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x^{2})^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n}}{(2n)!},
\sin\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Substituindo essas séries em \cos(x^{2}+1) obtemos
\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) =\cos(1)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n}}{(2n)!} \;-\; \sin(1)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.

Passo 5

Cada uma dessas séries (de \cos e \sin) tem raio de convergência infinito. Usando o critério da razão ou sabendo que \cos e \sin são inteiras, concluímos que a série de f(x) também converge para todo x, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) =\cos(1)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n}}{(2n)!} \;-\; \sin(1)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!},
Raio de convergência: R=\infty.

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