S-3.44 Quantos divisores positivos tem um número primo p ? E p^n ? E p^n times q^m, com p e q primos distintos?
S-3.45 Ache o menor número natural que possui exatamente seis divisores positivos. Faça o mesmo para 15 divisores e para 100 divisores.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na S-3.44 queremos contar o número de divisores positivos de
  1. um primo p,
  2. uma potência p^n,
  3. um produto de potências p^n q^m com p,q primos distintos.
    O conteúdo usado é a fórmula geral: se
n = prodi=1^k pi^ei,
então o número de divisores de n é
prodi=1^k (ei+1)
Na S-3.45 queremos achar o menor inteiro que possui exatamente 6, 15 e 100 divisores. Vamos usar a mesma ideia de fatoração e procurar combinações de expoentes cujos (ei+1) multipliquem no valor desejado, escolhendo depois a configuração que dá o menor número.

Passo 2

Aplicando a fórmula em S-3.44:
  1. Se n=p é primo, então na fatoração só há p^1, logo número de divisores é
1+1 = 2
  1. Se n=p^n, então há um único primo com expoente n, e o número de divisores é
n+1
  1. Se n=p^n q^m com pneq q, há dois fatores na fatoração e o número de divisores é
(n+1),(m+1)

Passo 3

Para S-3.45 usamos que, se queremos exatamente D divisores, devemos escrever
D = prodi (ei+1)
e então testar arranjos de expoentes ei que realizem essa fatoração, construindo n=prod pi^ei com pi primos crescentes ( 2,3,5,dots) para minimizar n.

Passo 4

Para D=6 há duas opções de fatoração de 6:
a) 6 = 6, dando expoente (e+1)=6Rightarrow e=5 e n=2^5=32.
b) 6 = 3cdot2, dando (e1+1)=3Rightarrow e1=2 e (e2+1)=2Rightarrow e2=1, com n=2^2cdot3^1=4cdot3=12.
Escolhendo o menor, n=12.

Passo 5

Para D=15 as fatorações são
a) 15=15, expoente e=14, n=2^14=16384.
b) 15=5cdot3, exponetes e1=4,e2=2, n=2^4cdot3^2=16cdot9=144.
c) 15=3cdot5, exponetes e1=2,e2=4, n=2^2cdot3^4=4cdot81=324.
O menor é n=144.

Passo 6

Para D=100 examinamos produtos de inteiros >1 que dêem 100. A melhor configuração que gera o menor número é
100 = 5cdot5cdot4,
isto é (e1+1)=5,e1=4; (e2+1)=5,e2=4; (e3+1)=4,e3=3.
Logo
n = 2^4cdot3^4cdot5^3 = 16cdot81cdot125 = 162000

Resposta

S-3.44
  • Para p primo: 2.
  • Para p^n: n+1.
  • Para p^n q^m: (n+1)(m+1).
S-3.45
  • Menor com 6 divisores: 12.
  • Menor com 15 divisores: 144.
  • Menor com 100 divisores: 162000.

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