S-3.44 Quantos divisores positivos tem um número primo
? E
? E
, com
e
primos distintos?
S-3.45 Ache o menor número natural que possui exatamente seis divisores positivos. Faça o mesmo para 15 divisores e para 100 divisores.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na S-3.44 queremos contar o número de divisores positivos de
- um primo
, - uma potência
, - um produto de potências
com primos distintos.
O conteúdo usado é a fórmula geral: se
então o número de divisores de
é
Na S-3.45 queremos achar o menor inteiro que possui exatamente
,
e
divisores. Vamos usar a mesma ideia de fatoração e procurar combinações de expoentes cujos
multipliquem no valor desejado, escolhendo depois a configuração que dá o menor número.
Passo 2
Aplicando a fórmula em S-3.44:
- Se
é primo, então na fatoração só há , logo número de divisores é
- Se
, então há um único primo com expoente , e o número de divisores é
- Se
com , há dois fatores na fatoração e o número de divisores é
Passo 3
Para S-3.45 usamos que, se queremos exatamente
divisores, devemos escrever
e então testar arranjos de expoentes
que realizem essa fatoração, construindo
com
primos crescentes (
) para minimizar
.
Passo 4
Para
há duas opções de fatoração de
:
a) , dando expoente
e
.
b) , dando
e
, com
.
Escolhendo o menor, .
a)
b)
Escolhendo o menor,
Passo 5
Para
as fatorações são
a) , expoente
,
.
b) , exponetes
,
.
c) , exponetes
,
.
O menor é .
a)
b)
c)
O menor é
Passo 6
Para
examinamos produtos de inteiros >1 que dêem 100. A melhor configuração que gera o menor número é
isto é
;
;
.
Logo
Logo
Resposta
S-3.44
- Para
primo: . - Para
: . - Para
: .
S-3.45
- Menor com 6 divisores:
. - Menor com 15 divisores:
. - Menor com 100 divisores:
.