Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=sen(cos x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função y = sen(cos x) . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra da cadeia para derivadas. Para isso, precisamos entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções compostas na expressão y = sen(cos x) . Podemos ver que a função seno está sendo aplicada à função cosseno de x . Portanto, temos uma função externa sen(u) onde u = cos x .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta sen(u) é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matemáticamente, isso é expresso como:
dydx = ddu sen(u) cdot dudx

Passo 4

Calculando a derivada da função externa sen(u) :
ddu sen(u) = cos(u)

Passo 5

Calculando a derivada da função interna u = cos x :
dudx = -sen(x)
Aqui, usamos a derivada da função cosseno, que é negativa do seno.

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas encontradas na regra da cadeia:
dydx = cos(u) cdot (-sen(x))
Lembrando que u = cos x , substituímos de volta:
dydx = -cos(cos x) cdot sen(x)

Resposta

A derivada de y = sen(cos x) em relação a x é:
dydx = -cos(cos x) cdot sen(x)

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