Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra da cadeia para derivadas. Para isso, precisamos entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as funções compostas na expressão
. Podemos ver que a função seno está sendo aplicada à função cosseno de
. Portanto, temos uma função externa
onde
.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta
é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matemáticamente, isso é expresso como:
Passo 4
Calculando a derivada da função externa
:
Passo 5
Calculando a derivada da função interna
:
Aqui, usamos a derivada da função cosseno, que é negativa do seno.
Passo 6
Agora, substituímos as derivadas encontradas na regra da cadeia:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: