Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a Regra do Produto e a Derivação de funções polinomiais e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas dentro de
. Vamos chamar:
Passo 3
A Regra do Produto diz que, se temos uma função
, então a derivada de
em relação a
é:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos derivar
. Lembrando que
, podemos reescrever:
Agora, aplicando a regra da potência, que diz que a derivada de
é
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Aplicando a regra da potência:
Passo 6
Já temos
e
. Agora, utilizando a Regra do Produto:
Substituindo as funções:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, multiplicando
por
:
Agora, multiplicando
por
:
Passo 8
Agora, somamos todos esses termos:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, somamos os termos constantes e organizamos:
Resposta
A derivada da função
é: