Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=(2x+1x^3)(5 x^2+3 x^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função y = (2x + 1x^3)(5 x^2+3 x^4) . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a Regra do Produto e a Derivação de funções polinomiais e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas dentro de y . Vamos chamar:
  • u(x) = 2x + 1x^3
  • v(x) = 5x^2 + 3x^4

Passo 3

A Regra do Produto diz que, se temos uma função y = u(x) cdot v(x) , então a derivada de y em relação a x é:
y' = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Então, precisamos encontrar u'(x) e v'(x) .

Passo 4

Vamos derivar u(x) = 2x + 1x^3 . Lembrando que 1x^n = x^-n , podemos reescrever:
u(x) = 2x^-1 + x^-3
Agora, aplicando a regra da potência, que diz que a derivada de x^n é n cdot x^n-1 :
u'(x) = 2 cdot (-1) cdot x^-2 + (-3) cdot x^-4 = -2x^2 - 3x^4

Passo 5

Agora, vamos derivar v(x) = 5x^2 + 3x^4 . Aplicando a regra da potência:
v'(x) = 5 cdot 2 cdot x^1 + 3 cdot 4 cdot x^3 = 10x + 12x^3

Passo 6

Já temos u'(x) e v'(x) . Agora, utilizando a Regra do Produto:
y' = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo as funções:
y' = (-2x^2 - 3x^4) cdot (5x^2 + 3x^4) + (2x + 1x^3) cdot (10x + 12x^3)

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, multiplicando u'(x) por v(x) :
-2x^2 cdot 5x^2 = -10
-2x^2 cdot 3x^4 = -6x^2
-3x^4 cdot 5x^2 = -15x^-2 = -15x^2
-3x^4 cdot 3x^4 = -9
Agora, multiplicando u(x) por v'(x) :
2x cdot 10x = 20
2x cdot 12x^3 = 24x^2
1x^3 cdot 10x = 10x^-2 = 10x^2
1x^3 cdot 12x^3 = 12

Passo 8

Agora, somamos todos esses termos:
y' = (-10 - 6x^2 - 15x^2 - 9) + (20 + 24x^2 + 10x^2 + 12)
Simplificando:
y' = (-10 - 9) + (-6x^2 + 24x^2) + (-15x^2 + 10x^2) + (20 + 12)
y' = -19 + 18x^2 - 5x^2 + 32

Passo 9

Finalmente, somamos os termos constantes e organizamos:
y' = ( -19 + 32 ) + 18x^2 - 5x^2
y' = 13 + 18x^2 - 5x^2

Resposta

A derivada da função y é:
y' = 18x^2 + 13 - 5x^2

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