Determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
2^n5^n+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a sequência 2^n5^n+2. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre sequências, limites e propriedades de potências.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão 2^n5^n+2. Podemos reescrever o denominador 5^n+2 como 5^n cdot 5^2, ou seja, 5^n cdot 25. Assim, temos:
2^n5^n+2 = 2^n5^n cdot 25 = 2^n5^n cdot 125

Passo 3

Agora, podemos simplificar 2^n5^n como (25)^n. Portanto:
2^n5^n+2 = (25)^n cdot 125

Passo 4

Sabemos que, se 0 < a < 1, então limn to infty a^n = 0. Aqui, 25 = 0,4, que está entre 0 e 1. Portanto:
limn to infty (25)^n = 0
Multiplicando por 125, que é uma constante, o limite da sequência inteira será:
limn to infty 2^n5^n+2 = 0 cdot 125 = 0

Resposta

A sequência 2^n5^n+2 converge para 0.

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