Encontre uma série de potências para a função 1-cos xx e, então, calcule lim x 0 1-cos xx.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências (Maclaurin) da função
1-cos xx
e, a partir dela, calcular o limite
limxto01-cos xx. Vamos usar a expansão em série de Maclaurin de cos x e depois manipular algebricamente.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de cos x em torno de x=0:
cos x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 3

Subtraindo essa expressão de 1, obtemos:
1 - cos x = 1 - sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)! = sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n(2n)!

Passo 4

Dividindo por x, a série de potências desejada é
1-cos xx = sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n-1(2n)! = x2! ;-;x^34!;+;x^56!;-;cdots

Passo 5

Para calcular limxto01-cos xx, basta observar que todos os termos da série têm potência de x maior ou igual a 1. Logo, quando xto0, cada termo tende a zero, e o limite é
limxto01-cos xx = 0

Resposta

1-cos xx = sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n-1(2n)! = x2! - x^34! + x^56! - cdots,
limxto01-cos xx = 0

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