(44) sumn=1^infty(13^n-14^n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente calcular a soma infinita de sumn=1^infty(13^n-14^n). Aqui, estamos lidando com séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, a gente vai precisar entender como somar cada uma dessas séries separadamente e depois fazer a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes diferentes. Isso fica mais fácil de resolver quando a gente trata cada série isoladamente. Então, a expressão fica assim:
sumn=1^infty 13^n - sumn=1^infty 14^n

Passo 3

Agora, vamos focar na primeira série: sumn=1^infty 13^n. Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral sumn=1^infty ar^n-1, onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 4

Para uma série geométrica infinita, a soma S = a1 - r é dada por:
Desde que o valor absoluto de seja menor que 1 ( ), a série converge e a soma pode ser calculada dessa forma.

Passo 5

Aplicando isso à primeira série, S1 = 131 - 13 = 1323 = 12 :
  • O primeiro termo (quando )
  • A razão
Então, a soma da primeira série é:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^infty 14^n. Fazendo o mesmo:
  • O primeiro termo S2 = 141 - 14 = 1434 = 13
  • A razão
A soma dessa série é:

Passo 7

Finalmente, vamos subtrair a soma das duas séries para encontrar a resposta:
S = S1 - S2 = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Resposta

A soma infinita é 16.

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