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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente calcular a soma infinita de
. Aqui, estamos lidando com séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, a gente vai precisar entender como somar cada uma dessas séries separadamente e depois fazer a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma em duas partes diferentes. Isso fica mais fácil de resolver quando a gente trata cada série isoladamente. Então, a expressão fica assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na primeira série:
. Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
Passo 4
Para uma série geométrica infinita, a soma
é dada por:
Desde que o valor absoluto de
seja menor que 1 (
), a série converge e a soma pode ser calculada dessa forma.
Passo 5
Aplicando isso à primeira série,
:
- O primeiro termo
(quando ) - A razão
Então, a soma da primeira série é:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda série:
. Fazendo o mesmo:
- O primeiro termo
- A razão
A soma dessa série é:
Passo 7
Finalmente, vamos subtrair a soma das duas séries para encontrar a resposta:
Resposta
A soma infinita é
.