Classifique as afirmações abaixo como verdadeira V ou falsa F = F dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então a_n é convergente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O assunto aqui é sobre convergência de sequências. Precisamos verificar se, se a sequência dos valores absolutos de ( ) converge, isso garante que a própria sequência também converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se existe um número tal que, conforme cresce, os termos se aproximam cada vez mais de .
Agora, a questão é: se converge, isso implica que também converge? A resposta é não necessariamente. Vamos pensar num exemplo para entender melhor.

Passo 3

Considere a sequência definida por:
Ou seja, os termos da sequência são alternadamente e :
Vamos ver o que acontece com :
Então, converge para .

Passo 4

Agora, vamos ver se converge. Observamos que a sequência não se aproxima de nenhum número específico, pois está sempre alternando entre e . Portanto, não converge.

Resposta

Falsa (F). Mesmo que seja convergente, a sequência pode não convergir, como no exemplo .

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