Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O assunto aqui é sobre convergência de sequências. Precisamos verificar se, se a sequência dos valores absolutos de
(
) converge, isso garante que a própria sequência
também converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge se existe um número
tal que, conforme
cresce, os termos
se aproximam cada vez mais de
.
Agora, a questão é: se
converge, isso implica que
também converge? A resposta é não necessariamente. Vamos pensar num exemplo para entender melhor.
Passo 3
Considere a sequência
definida por:
Ou seja, os termos da sequência são alternadamente
e
:
Vamos ver o que acontece com
:
Então,
converge para
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
converge. Observamos que a sequência
não se aproxima de nenhum número específico, pois está sempre alternando entre
e
. Portanto,
não converge.
Resposta
Falsa (F). Mesmo que
seja convergente, a sequência
pode não convergir, como no exemplo
.