Se f(n) L, então prove que sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)]=f(1)-L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se tende a quando vai para infinito, então a soma infinita dos termos de até é igual a . Vamos usar conceitos de séries infinitas e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos de uma sequência. Quando somamos infinitos termos, chamamos de série infinita. No nosso caso, a série é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os primeiros termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão. Vamos escrever os primeiros termos:
[f(1) - f(2)] + [f(2) - f(3)] + [f(3) - f(4)] + dots

Passo 4

Veja que ao somar esses termos, muitos deles se cancelam. Por exemplo, do primeiro termo cancela com do segundo termo, do segundo cancela com do terceiro, e assim por diante. Isso é o que chamamos de série telescópica.

Passo 5

Após o cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo SN = f(1) - f(N+1) e o último termo que não se cancela, que seria conforme avançamos a série. Então, a soma parcial até o termo fica:

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, devemos calcular o limite da soma parcial limN to +infty SN = limN to +infty [f(1) - f(N+1)] quando tende ao infinito:

Passo 7

Sabemos que limN to +infty f(N+1) = L tende a quando vai para infinito. Portanto, também tende a quando tende a infinito:

Passo 8

Substituindo esse limite na expressão da soma parcial, temos:
limN to +infty [f(1) - f(N+1)] = f(1) - L

Resposta

Portanto, .

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