Se
, então prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se
tende a
quando
vai para infinito, então a soma infinita dos termos
de
até
é igual a
. Vamos usar conceitos de séries infinitas e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos de uma sequência. Quando somamos infinitos termos, chamamos de série infinita. No nosso caso, a série é
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os primeiros termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão. Vamos escrever os primeiros termos:
Passo 4
Veja que ao somar esses termos, muitos deles se cancelam. Por exemplo,
do primeiro termo cancela com
do segundo termo,
do segundo cancela com
do terceiro, e assim por diante. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Passo 5
Após o cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo
e o último termo que não se cancela, que seria
conforme avançamos a série. Então, a soma parcial até o termo
fica:
Passo 6
Para encontrar a soma da série infinita, devemos calcular o limite da soma parcial
quando
tende ao infinito:
Passo 7
Sabemos que
tende a
quando
vai para infinito. Portanto,
também tende a
quando
tende a infinito:
Passo 8
Substituindo esse limite na expressão da soma parcial, temos:
Resposta
Portanto,
.