Prove que:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma da série infinita
é igual a
. Vamos usar o que aprendemos sobre séries geométricas, que são aquelas em que cada termo é uma constante vezes o termo anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma série geométrica. Ela tem a forma
, onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é o índice de onde começa a soma.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por
, desde que
.
Passo 3
No nosso caso, a série é
. Vamos identificar os valores:
-
(porque o termo geral é ), -
, -
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
Passo 5
Simplificando a fração:
Resposta
Portanto,
.