Prove que:
(e) sumn=2^+infty 12^n=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma da série infinita é igual a . Vamos usar o que aprendemos sobre séries geométricas, que são aquelas em que cada termo é uma constante vezes o termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma série geométrica. Ela tem a forma , onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão,
  • é o índice de onde começa a soma.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por , desde que .

Passo 3

No nosso caso, a série é . Vamos identificar os valores:
  • (porque o termo geral é ),
  • ,
  • .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
S = a r^k1 - r = 1 times (12)^21 - 12 = 1412

Passo 5

Simplificando a fração:
1412 = 14 div 12 = 14 times 2 = 24 = 12

Resposta

Portanto, .

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