440 Numa certa cidade,
da população têm cabelos castanhos,
olhos castanhos e
têm cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente.
(i) Se ela tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(ii) Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de nāo ter cabelos castanhos?
(iii) Qual é a probabilidade de nāo ter nem cabelos nem olhos castanhos?
(i) Se ela tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(ii) Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de nāo ter cabelos castanhos?
(iii) Qual é a probabilidade de nāo ter nem cabelos nem olhos castanhos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos os números do enunciado):
- Defina
como o evento “a pessoa tem cabelos castanhos”. - Defina
como o evento “a pessoa tem olhos castanhos”. -
. -
. -
.
O enunciado pede:
(i) Se a pessoa tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(ii) Se a pessoa tem olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos?
(iii) Qual a probabilidade de a pessoa não ter nem cabelos nem olhos castanhos?
(i) Se a pessoa tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(ii) Se a pessoa tem olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos?
(iii) Qual a probabilidade de a pessoa não ter nem cabelos nem olhos castanhos?
Passo 2
Conceito útil: a probabilidade condicional
é a probabilidade de
ocorrer sabendo que
ocorreu. A fórmula é
onde:
-
é a probabilidade dos dois acontecerem ao mesmo tempo, -
é a probabilidade do evento condicionado.
Vamos aplicar isso em (i).
Passo 3
Cálculo de (i): “Se tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos?” É
. Pela fórmula da probabilidade condicional,
Substituindo os números dados (transformando percentuais em frações de
):
Simplificando a fração:
Como decimal isso é
, ou seja
.
Passo 4
Conceitos para (ii): a probabilidade de “não ter cabelos castanhos dado que tem olhos castanhos” é
, onde
é o complemento de
. Uma maneira prática é usar
E novamente
Passo 5
Cálculo de (ii): primeiro
:
Portanto
(Verificação alternativa: a parcela de pessoas com olhos castanhos mas sem cabelos castanhos é
.)
Passo 6
Conceitos e cálculo para (iii): a probabilidade de “não ter nem cabelos nem olhos castanhos” é a probabilidade do complemento da união
. Usa-se
e a fórmula da união é
Passo 7
Cálculo de (iii): primeiro
:
Então a probabilidade de não ter nem cabelos nem olhos castanhos é
Passo 8
Interpretação via exemplo concreto (ajuda mnemônica): se a população fosse
pessoas (só para visualizar), teríamos:
Então só cabelos castanhos
, só olhos castanhos
, ambos
, e nem um nem outro
, ou seja
. Isso confirma os cálculos acima.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)