440 Numa certa cidade, 40 \% da população têm cabelos castanhos, 25 \% olhos castanhos e 15 \% têm cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente.
(i) Se ela tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(ii) Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de nāo ter cabelos castanhos?
(iii) Qual é a probabilidade de nāo ter nem cabelos nem olhos castanhos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos os números do enunciado):
  • Defina C como o evento “a pessoa tem cabelos castanhos”.
  • Defina O como o evento “a pessoa tem olhos castanhos”.
  • P\text{(C)}=40\%.
  • P(O)=25\%.
  • P(C\cap O)=15\%.
O enunciado pede:
(i) Se a pessoa tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(ii) Se a pessoa tem olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos?
(iii) Qual a probabilidade de a pessoa não ter nem cabelos nem olhos castanhos?

Passo 2

Conceito útil: a probabilidade condicional P(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu. A fórmula é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
onde:
  • P(A\cap B) é a probabilidade dos dois acontecerem ao mesmo tempo,
  • P(B) é a probabilidade do evento condicionado.
Vamos aplicar isso em (i).

Passo 3

Cálculo de (i): “Se tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos?” É P(O\mid C). Pela fórmula da probabilidade condicional,
P(O\mid C)=\frac{P(C\cap O)}{P\text{(C)}}.
Substituindo os números dados (transformando percentuais em frações de 1):
P(O\mid C)=\frac{15\%}{40\%}=\frac{15}{40}.
Simplificando a fração:
\frac{15}{40}=\frac{3}{8}.
Como decimal isso é 0,375, ou seja 37,5\%.

Passo 4

Conceitos para (ii): a probabilidade de “não ter cabelos castanhos dado que tem olhos castanhos” é P(C^{c}\mid O), onde C^{c} é o complemento de C. Uma maneira prática é usar
P(C^{c}\mid O)=1-P(C\mid O).
E novamente
P(C\mid O)=\frac{P(C\cap O)}{P(O)}.

Passo 5

Cálculo de (ii): primeiro P(C\mid O):
P(C\mid O)=\frac{P(C\cap O)}{P(O)}=\frac{15\%}{25\%}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=0,6=60\%.
Portanto
P(C^{c}\mid O)=1-P(C\mid O)=1-0,6=0,4=40\%.
(Verificação alternativa: a parcela de pessoas com olhos castanhos mas sem cabelos castanhos é (25\%-15\%)/25\%=10\%/25\%=40\%.)

Passo 6

Conceitos e cálculo para (iii): a probabilidade de “não ter nem cabelos nem olhos castanhos” é a probabilidade do complemento da união C\cup O. Usa-se
P\bigl((C\cup O)^{c}\bigr)=1-P(C\cup O),
e a fórmula da união é
P(C\cup O)=P\text{(C)}+P(O)-P(C\cap O).

Passo 7

Cálculo de (iii): primeiro P(C\cup O):
P(C\cup O)=40\%+25\%-15\%=50\%.
Então a probabilidade de não ter nem cabelos nem olhos castanhos é
P\bigl((C\cup O)^{c}\bigr)=1-50\%=50\%.

Passo 8

Interpretação via exemplo concreto (ajuda mnemônica): se a população fosse 1000 pessoas (só para visualizar), teríamos:
\text{com cabelos castanhos}=400,\quad \text{com olhos castanhos}=250,\quad \text{ambos}=150.
Então só cabelos castanhos =400-150=250, só olhos castanhos =250-150=100, ambos =150, e nem um nem outro =1000-(250+100+150)=500, ou seja 50\%. Isso confirma os cálculos acima.

Resposta

(i) 37,5\%
(ii) 40\%
(iii) 50\%

Exercícios relacionados