Numa classe há 10 meninos e 5 meninas. Três estudantes sāo selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade
do primeiro e do terceiro serem meninos e o segundo menina

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Na classe há 10 meninos e 5 meninas, ou seja 15 estudantes no total.
  • Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro, sem reposição (cada selecionado não volta para a urna).
  • A pergunta é: qual a probabilidade do primeiro selecionado ser menino, o segundo ser menina e o terceiro ser menino?

Passo 2

Vamos traduzir o pedido em eventos e usar a regra do produto de probabilidades condicionais. Definimos:
  • A = “primeiro é menino”;
  • B = “segundo é menina”;
  • C = “terceiro é menino”.
A regra geral para três eventos sequenciais (sem reposição) é
P(A\cap B\cap C)=P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid A\cap B).
Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer sabendo que A já ocorreu; isto é, é uma probabilidade condicional. A definição de probabilidade condicional é
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},
mas na prática, para amostragem sem reposição, P(B\mid A) se obtém contando quantos resultados favoráveis restam depois que A ocorreu e dividindo pelo número total de resultados restantes.

Passo 3

Calcular P(A), a probabilidade do primeiro ser menino.
No sorteio inicial há 10 meninos entre 15 alunos, logo
P(A)=\frac{10}{15}.
Explicação simples: probabilidade = (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis).

Passo 4

Calcular P(B\mid A), a probabilidade do segundo ser menina dado que o primeiro foi menino.
Se o primeiro foi menino, restam 14 alunos no total e ainda 5 meninas (porque não removemos nenhuma menina). Assim
P(B\mid A)=\frac{5}{14}.

Passo 5

Calcular P(C\mid A\cap B), a probabilidade do terceiro ser menino dado que o primeiro foi menino e o segundo foi menina.
Depois desses dois sorteios restam 13 alunos; como tirou-se um menino e uma menina, agora há 9 meninos restantes. Portanto
P(C\mid A\cap B)=\frac{9}{13}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
P(A\cap B\cap C)=\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{9}{13}.
Fazendo as simplificações passo a passo:
\frac{10\cdot5\cdot9}{15\cdot14\cdot13}.
Primeiro divido 15 por 5:
\frac{10\cdot1\cdot9}{3\cdot14\cdot13}=\frac{10\cdot9}{3\cdot14\cdot13}.
Depois divido 10 por 14 simplificando por 2:
\frac{5\cdot9}{3\cdot7\cdot13}=\frac{45}{273}.
Finalmente divido por 3:
\frac{15}{91}.
Como decimal aproximado,
\frac{15}{91}\approx 0,1648\\ (\text{arredondando 4 casas decimais}).

Passo 7

Verificação alternativa (contagem direta): o número de sequências possíveis de três alunos distintos escolhidos em ordem é 15\cdot14\cdot13. O número de sequências favoráveis (especificamente menino, menina, menino) é 10\cdot5\cdot9. A razão é
\frac{10\cdot5\cdot9}{15\cdot14\cdot13},
que é exatamente o mesmo cálculo anterior, confirmando o resultado.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: o valor \dfrac{15}{91} é a probabilidade exata de obter a sequência menino–menina–menino nas três retiradas sem reposição. Eventos sucessivos não são independentes aqui (porque tirar alguém altera as quantidades restantes), por isso usamos probabilidades condicionais. Parabéns — você já domina o raciocínio básico para esse tipo de problema! Continue praticando que isso fica automático.

Resposta

\dfrac{15}{91}\approx 0,1648

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