Numa classe há 10 meninos e 5 meninas. Três estudantes sāo selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade
do primeiro e do terceiro serem meninos e o segundo menina
do primeiro e do terceiro serem meninos e o segundo menina
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Na classe há
meninos e meninas, ou seja estudantes no total. - Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro, sem reposição (cada selecionado não volta para a urna).
- A pergunta é: qual a probabilidade do primeiro selecionado ser menino, o segundo ser menina e o terceiro ser menino?
Passo 2
Vamos traduzir o pedido em eventos e usar a regra do produto de probabilidades condicionais. Definimos:
-
= “primeiro é menino”; -
= “segundo é menina”; -
= “terceiro é menino”.
A regra geral para três eventos sequenciais (sem reposição) é
Aqui
é a probabilidade de
ocorrer sabendo que
já ocorreu; isto é, é uma probabilidade condicional. A definição de probabilidade condicional é
mas na prática, para amostragem sem reposição,
se obtém contando quantos resultados favoráveis restam depois que
ocorreu e dividindo pelo número total de resultados restantes.
Passo 3
Calcular
, a probabilidade do primeiro ser menino.
No sorteio inicial há meninos entre
alunos, logo
No sorteio inicial há
Explicação simples: probabilidade = (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis).
Passo 4
Calcular
, a probabilidade do segundo ser menina dado que o primeiro foi menino.
Se o primeiro foi menino, restam alunos no total e ainda
meninas (porque não removemos nenhuma menina). Assim
Se o primeiro foi menino, restam
Passo 5
Calcular
, a probabilidade do terceiro ser menino dado que o primeiro foi menino e o segundo foi menina.
Depois desses dois sorteios restam alunos; como tirou-se um menino e uma menina, agora há
meninos restantes. Portanto
Depois desses dois sorteios restam
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Fazendo as simplificações passo a passo:
Primeiro divido
por
:
Depois divido
por
simplificando por
:
Finalmente divido por
:
Como decimal aproximado,
Passo 7
Verificação alternativa (contagem direta): o número de sequências possíveis de três alunos distintos escolhidos em ordem é
. O número de sequências favoráveis (especificamente menino, menina, menino) é
. A razão é
que é exatamente o mesmo cálculo anterior, confirmando o resultado.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: o valor
é a probabilidade exata de obter a sequência menino–menina–menino nas três retiradas sem reposição. Eventos sucessivos não são independentes aqui (porque tirar alguém altera as quantidades restantes), por isso usamos probabilidades condicionais. Parabéns — você já domina o raciocínio básico para esse tipo de problema! Continue praticando que isso fica automático.