Sejam A e B eventos com P(A) \frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4} e P(A \cup B)=\frac{1}{2}. Encontre
P(A \mid B)

Passo 1

Dados fornecidos:
  • P(A)=\dfrac{1}{3}.
  • P(B)=\dfrac{1}{4}.
  • P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}.
Pergunta: encontrar P(A\mid B).

Passo 2

Definição que precisamos: a probabilidade condicional de A dado B é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Aqui P(A\cap B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem simultaneamente; P(B) é a probabilidade de B ocorrer.

Passo 3

Outra fórmula básica (união de dois eventos) que relaciona essas quantidades é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Essa fórmula vem do fato de que ao somar P(A) e P(B) conta-se P(A\cap B) duas vezes, por isso subtrai-se uma vez.

Passo 4

Isolando P(A\cap B) da fórmula da união e substituindo os valores dados:
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
Substituindo:
P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}.
Vamos calcular passo a passo com denominador comum 12:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12},\qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}.
Logo
P(A\cap B)=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}-\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{12}.

Passo 5

Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{4}}.
Dividir frações equivale a multiplicar pela inversa:
P(A\mid B)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{4}{1}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação rápida e útil: obtivemos P(A\mid B)=\dfrac{1}{3}, que é exatamente P(A). Isso significa que saber que B ocorreu não altera a probabilidade de A — ou seja, A e B são eventos independentes neste caso. Boa! 😉

Resposta

\dfrac{1}{3}

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