Numa classe há 10 meninos e 5 meninas. Três estudantes sāo selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade
do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo, do sexo oposto.
do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo, do sexo oposto.
Passo 1
O enunciado dá: há
meninos e
meninas, ou seja
estudantes no total. Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro, sem reposição (cada escolhido não volta para a turma).
A pergunta é: qual a probabilidade de o primeiro e o terceiro selecionados serem do mesmo sexo e o segundo ser do sexo oposto?
A pergunta é: qual a probabilidade de o primeiro e o terceiro selecionados serem do mesmo sexo e o segundo ser do sexo oposto?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número total de estudantes:
. - Número de meninos:
. - Número de meninas:
. - Seleções feitas sem reposição, em ordem (posição importa).
- Evento pedido: “1º e 3º mesmos, 2º oposto”.
Passo 2
Estratégia escolhida (método): usar probabilidade condicional em sequência, via a regra do produto para eventos dependentes. Vou também mostrar, como verificação, um método combinatório (contagem de sequências ordenadas).
Explicação do conceito que vou usar: para três eventos sequenciais
,
,
(aqui: escolhas 1, 2 e 3), a probabilidade conjunta é
Aqui
é a probabilidade de
acontecer sabendo que
já aconteceu; isto é importante porque as escolhas são sem reposição e portanto dependentes.
Passo 3
Calcular a probabilidade do caso “menino, menina, menino” (notação:
), que é um dos dois padrões possíveis que satisfazem o enunciado.
Passo a passo:
- Probabilidade de o primeiro ser menino:
Explicação: há meninos entre alunos. - Dado que saiu um menino, restam
alunos, dos quais são meninas. Assim - Depois de retirar um menino e uma menina, restam
alunos, dos quais são meninos. Então
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Calcular o outro caso possível que satisfaz o enunciado: “menina, menino, menina” (notação:
).
Passo a passo:
- Probabilidade de o primeiro ser menina:
- Dado esse primeiro, restam
alunos com meninos, então - Depois de tirar uma menina e um menino, restam
alunos com meninas, logo
Portanto
Passo 5
Somar as probabilidades dos dois padrões (são mutuamente exclusivos e cobrem todas as formas de “1º e 3º mesmos, 2º oposto”):
Calculemos numeradores e denominador comum:
Então
Passo 6
Simplificação da fração
.
Dividindo numerador e denominador por
:
Observa-se que
e
, portanto podemos cancelar
:
Como verificação alternativa (contagem direta de sequências ordenadas): o número de sequências ordenadas favoráveis é
para
mais
para
, total
. O total de sequências ordenadas possíveis é
. Então a razão é
, que simplifica para
, concordando com o cálculo anterior.