Numa classe há 10 meninos e 5 meninas. Três estudantes sāo selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade
do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo, do sexo oposto.

Passo 1

O enunciado dá: há 10 meninos e 5 meninas, ou seja 15 estudantes no total. Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro, sem reposição (cada escolhido não volta para a turma).
A pergunta é: qual a probabilidade de o primeiro e o terceiro selecionados serem do mesmo sexo e o segundo ser do sexo oposto?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número total de estudantes: 15.
  • Número de meninos: 10.
  • Número de meninas: 5.
  • Seleções feitas sem reposição, em ordem (posição importa).
  • Evento pedido: “1º e 3º mesmos, 2º oposto”.

Passo 2

Estratégia escolhida (método): usar probabilidade condicional em sequência, via a regra do produto para eventos dependentes. Vou também mostrar, como verificação, um método combinatório (contagem de sequências ordenadas).
Explicação do conceito que vou usar: para três eventos sequenciais A, B, C (aqui: escolhas 1, 2 e 3), a probabilidade conjunta é
P(A\cap B\cap C)=P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid A\cap B).
Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de B acontecer sabendo que A já aconteceu; isto é importante porque as escolhas são sem reposição e portanto dependentes.

Passo 3

Calcular a probabilidade do caso “menino, menina, menino” (notação: B\!G\!B), que é um dos dois padrões possíveis que satisfazem o enunciado.
Passo a passo:
  • Probabilidade de o primeiro ser menino: P(\text{1º = menino})=\frac{10}{15}.ºExplicação: há 10 meninos entre 15 alunos.
  • Dado que saiu um menino, restam 14 alunos, dos quais 5 são meninas. Assim P(\text{2º = menina}\mid \text{1º = menino})=\frac{5}{14}.ºº
  • Depois de retirar um menino e uma menina, restam 13 alunos, dos quais 9 são meninos. Então P(\text{3º = menino}\mid \text{1º = menino, 2º = menina})=\frac{9}{13}.ººº
Aplicando a regra do produto:
P(B\!G\!B)=\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{9}{13}.

Passo 4

Calcular o outro caso possível que satisfaz o enunciado: “menina, menino, menina” (notação: G\!B\!G).
Passo a passo:
  • Probabilidade de o primeiro ser menina: P(\text{1º = menina})=\frac{5}{15}.º
  • Dado esse primeiro, restam 14 alunos com 10 meninos, então P(\text{2º = menino}\mid \text{1º = menina})=\frac{10}{14}.ºº
  • Depois de tirar uma menina e um menino, restam 13 alunos com 4 meninas, logo P(\text{3º = menina}\mid \text{1º = menina, 2º = menino})=\frac{4}{13}.ººº
Portanto
P(G\!B\!G)=\frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14}\cdot\frac{4}{13}.

Passo 5

Somar as probabilidades dos dois padrões (são mutuamente exclusivos e cobrem todas as formas de “1º e 3º mesmos, 2º oposto”):
P=\;P(B\!G\!B)+P(G\!B\!G) =\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{9}{13}+\frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14}\cdot\frac{4}{13}.
Calculemos numeradores e denominador comum:
\text{denominador comum}=15\cdot14\cdot13=2730.
\text{numerador do primeiro termo}=10\cdot5\cdot9=450.
\text{numerador do segundo termo}=5\cdot10\cdot4=200.
Então
P=\frac{450+200}{2730}=\frac{650}{2730}.

Passo 6

Simplificação da fração \dfrac{650}{2730}.
Dividindo numerador e denominador por 10:
\frac{650}{2730}=\frac{65}{273}.
Observa-se que 65=5\cdot13 e 273=21\cdot13, portanto podemos cancelar 13:
\frac{65}{273}=\frac{5}{21}.
Como verificação alternativa (contagem direta de sequências ordenadas): o número de sequências ordenadas favoráveis é 10\cdot5\cdot9 para B\!G\!B mais 5\cdot10\cdot4 para G\!B\!G, total 650. O total de sequências ordenadas possíveis é 15\cdot14\cdot13=2730. Então a razão é 650/2730, que simplifica para 5/21, concordando com o cálculo anterior.

Resposta

\dfrac{5}{21}

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