Sejam A e B eventos com P(A) \frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4} e P(A \cup B)=\frac{1}{2}. Encontre
P(B \mid A)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(A)=\frac{1}{3}.
  • P(B)=\frac{1}{4}.
  • P(A\cup B)=\frac{1}{2}.
O que é pedido:
  • Calcular P(B\mid A).

Passo 2

Para começar, vamos lembrar a relação entre as probabilidades da união e da interseção de dois eventos. A fórmula é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B, e P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos.

Passo 3

Reorganizando essa fórmula para isolar P(A\cap B) temos
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
Isso é apenas álgebra básica: somar P(A\cap B) aos dois lados e subtrair P(A\cup B).

Passo 4

Agora substituímos os valores fornecidos. Vamos fazer as contas com frações cuidadosamente, usando denominador comum.
P(A\cap B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}.
Para somar/subtrair, escolhemos o denominador comum 12:
\frac{1}{3}=\frac{4}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12},\qquad \frac{1}{2}=\frac{6}{12}.
Portanto
P(A\cap B)=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{6}{12}=\frac{1}{12}.

Passo 5

A definição de probabilidade condicional é
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},
desde que P(A)>0. Isso representa a probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu.

Passo 6

Substituindo P(A\cap B)=\frac{1}{12} e P(A)=\frac{1}{3},
P(B\mid A)=\frac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{1}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.
Feito! A simplificação passo a passo foi: dividir fração por fração = multiplicar pela inversa, depois reduzir.

Passo 7

Interpretação rápida e motivadora: obteve-se P(B\mid A)=\frac{1}{4}, que coincide com P(B). Isso significa que, neste caso, saber que A ocorreu não muda a probabilidade de B — os eventos são independentes. Tá indo bem — essa é uma conclusão útil para reconocer dependência/independência em provas.

Resposta

\frac{1}{4}

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