44P. Uma espira de fio fechada com uma corrente i está em um campo magnético uniforme B, com o plano da espira fazendo um ângulo theta com a direção de barB. Mostre que a força magnética total sobre a espira é nula. A sua demonstração também vale para um campo magnético não-uniforme?

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a força magnética total sobre uma espira de corrente contínua i imersa em um campo magnético uniforme vec B é nula, mesmo quando o plano da espira faz um ângulo theta com a direção de vec B. O conteúdo aqui é o cálculo da força magnética em um fio condutor usando a Lei de Ampère-Laplace, e precisaremos usar o fato de que a espira é um circuito fechado.

Passo 2

Em um elemento infinitesimal de fio de comprimento dvecell percorrido pela corrente i, a força magnética diferencial é dada por
dvec F ;=; i,dvecelltimes vec B
Para obter a força total sobre a espira, integramos esse vetor ao longo de todo o contorno fechado da espira:
vec F ;=;ointespira dvec F ;=;ointespira i,dvecelltimes vec B

Passo 3

Como vec B é uniforme, ele pode sair da integral de linha:
vec F ;=; i;l(ointespira dvecellr)times vec B
Mas para qualquer curva fechada vale
ointespira dvecell ;=;vec 0,
pois os deslocamentos infinitesimais somam zero quando voltamos ao ponto de partida. Logo,
vec F ;=; i,l(vec 0r)times vec B ;=;vec 0

Passo 4

Essa demonstração vale apenas porque retiramos vec B de dentro da integral, o que só é permitido se vec B for constante em toda a espira. Num campo magnético não-uniforme vec B(vec r), teríamos
vec F ;=;oint i,dvecelltimes vec B(vec r),
e não podemos factorar vec B para fora. Assim, em geral a força resultante não é zero quando o campo varia no espaço (por exemplo, um dipolo magnético num gradiente de campo sofre uma força líquida).

Resposta

A força magnética total sobre a espira em campo uniforme é nula, vec F=vec 0.
Essa demonstração não se estende a campos não-uniformes, onde em geral vec Fneqvec 0.

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