45-50 Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
z=y tg 2 x

Passo 1

O enunciado dá a função z = y tan(2x) e pede as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos usar as regras de derivação parcial, a regra do produto e saber que
ddutan(u)=sec^2(u), ddxsec^2(u)=2sec^2(u)tan(u),u'

Passo 2

Para calcular partial zpartial x, tratamos y como constante. Como
ddxtan(2x)=2sec^2(2x),
segue
partial zpartial x = ycdot 2sec^2(2x) =2ysec^2(2x)
Para calcular partial zpartial y, tratamos x como constante e a derivada de y é 1, logo
partial zpartial y =tan(2x)

Passo 3

Agora partial^2 zpartial x^2 vem de derivar partial zpartial x=2ysec^2(2x) em relação a x:
partial^2 zpartial x^2 =2ycdotddxl(sec^2(2x)r) =2ycdotl(2sec^2(2x)tan(2x)cdot2r) =8ysec^2(2x)tan(2x)

Passo 4

Para as derivadas mistas e a derivada em y de segunda ordem, usamos:
partial^2 zpartial xpartial y =partialpartial yl(2ysec^2(2x)r) =2sec^2(2x),
partial^2 zpartial y^2 =partialpartial yl(tan(2x)r) =0,
partial^2 zpartial ypartial x =partialpartial xl(tan(2x)r) =2sec^2(2x),
confirmando que partial^2 zpartial xpartial y=partial^2 zpartial ypartial x

Resposta

partial^2 zpartial x^2=8ysec^2(2x)tan(2x), partial^2 zpartial xpartial y =partial^2 zpartial ypartial x=2sec^2(2x), partial^2 zpartial y^2=0

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