Use a regra da cadeira para determinar d zd t ou d wd t.
z=x ln (x+2 y), x=sen t, y=cos t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dzdt onde
z = x lnl(x + 2yr), x = sin t, y = cos t
Aqui o conteúdo é a regra da cadeia em funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Seja u = x + 2y.
Para partial zpartial x, usamos z = xln u:
partial zpartial x = ln u + xcdot1u,partial upartial x = ln(x+2y) + xx+2y
Para partial zpartial y, só o fator ln u depende de y:
partial zpartial y = xcdot1u,partial upartial y = xcdot1x+2ycdot 2 = 2xx+2y

Passo 3

Em seguida calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(sin t) = cos t, dydt = ddt(cos t) = -sin t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = l(ln(x+2y)+xx+2yr)cos t + 2xx+2y,(-sin t)
Agora substituímos x=sin t e y=cos t:
dzdt = l[lnl(sin t+2cos tr) +sin tsin t+2cos tr]cos t -2sin tsin t+2cos t,sin t

Passo 5

Podemos agrupar os últimos termos sobre o mesmo denominador:
-2sin tsin tsin t+2cos t +sin tcos tsin t+2cos t = sin t(cos t-2sin t)sin t+2cos t
Logo a forma final é
dzdt = cos t ,lnl(sin t+2cos tr) + sin t,l(cos t-2sin tr)sin t+2cos t

Resposta

boxed dzdt = cos t,lnl(sin t+2cos tr) + sin t,l(cos t-2sin tr)sin t+2cos t

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