- Seja
um número inteiro par e seja
um número real. Mostre que existe um número real
, tal que
. O que pode ser dito se
é um número inteiro ímpar?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro par
e um real
, existe um real
tal que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas e o fato de que a função
(com
inteiro positivo) é contínua e estritamente crescente em
.
Passo 2
Definimos a função
Como
é inteiro par,
está bem definido e não muda de sinal em
. Além disso,
é contínua em
, pois é um polinômio.
Passo 3
Observe os valores extremos de
:
Queremos atingir o valor
. Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário, há pelo menos um
tal que
Passo 4
Para ver que esse
é único, note que em
a derivada
é não negativa e só se anula em
. Logo
é estritamente crescente em
. Portanto não pode haver dois pontos distintos que dêem o mesmo valor
. Concluímos que existe exatamente um
tal que
Passo 5
Se
é ímpar, podemos estender o raciocínio para toda a reta. Defina
Ainda é um polinômio, logo contínuo, e sua derivada
não muda de sinal em
(é positiva para
ímpar), o que faz de
uma função estritamente crescente de
a
. Assim, para qualquer
existe um único
tal que
Resposta
Para
par e
existe um único
tal que
.
Para ímpar e
real arbitrário, existe um único
tal que
.
Para