1. Seja n um número inteiro par e seja alpha>0 um número real. Mostre que existe um número real a>0, tal que a^n=alpha. O que pode ser dito se n é um número inteiro ímpar?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro par n e um real alpha>0, existe um real a>0 tal que
a^n = alpha
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas e o fato de que a função f(x)=x^n (com n inteiro positivo) é contínua e estritamente crescente em [0,infty).

Passo 2

Definimos a função
fcolon [0,infty)to[0,infty), f(x)=x^n
Como n é inteiro par, x^n está bem definido e não muda de sinal em [0,infty). Além disso, f é contínua em [0,infty), pois é um polinômio.

Passo 3

Observe os valores extremos de f:
f(0)=0, limxto+inftyf(x)=+infty
Queremos atingir o valor f(a)=alpha>0. Como 0<alpha<+infty, pelo Teorema do Valor Intermediário, há pelo menos um ain(0,infty) tal que
f(a)=alpha

Passo 4

Para ver que esse a é único, note que em [0,infty) a derivada
f'(x)=n,x^n-1
é não negativa e só se anula em x=0. Logo f é estritamente crescente em (0,infty). Portanto não pode haver dois pontos distintos que dêem o mesmo valor alpha. Concluímos que existe exatamente um a>0 tal que
a^n=alpha

Passo 5

Se n é ímpar, podemos estender o raciocínio para toda a reta. Defina
gcolon Rto R, g(x)=x^n
Ainda é um polinômio, logo contínuo, e sua derivada g'(x)=n,x^n-1 não muda de sinal em R (é positiva para n ímpar), o que faz de g uma função estritamente crescente de -infty a +infty. Assim, para qualquer alphain R existe um único ain R tal que
a^n=alpha

Resposta

Para n par e alpha>0 existe um único a>0 tal que a^n=alpha.
Para n ímpar e alpha real arbitrário, existe um único ain R tal que a^n=alpha.

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