- Seja
uma função contínua. Mostre que
é constante.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma função contínua de
em
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que a imagem de um intervalo conectado por uma função contínua é um intervalo (em
). Como
não contém intervalos não triviais — pois entre dois racionais sempre existe irracional — concluiremos que
só pode assumir um único valor.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
não seja constante. Então existem
tais que
Sem perda de generalidade, seja
com
.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Intermediário, para todo valor real
em
existe
tal que
Em particular, entre
e
existe um número irracional
. O teorema garante um
com
, mas isso contradiz o fato de
pertencer a
.
Passo 4
Essa contradição vem da hipótese de que
. Logo, não pode haver dois pontos em
com valores distintos de
. Portanto,
é constante em todo
.