1. Seja f:[0,1] longrightarrow Q uma função contínua. Mostre que f é constante.

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função contínua de [0,1] em Q. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que a imagem de um intervalo conectado por uma função contínua é um intervalo (em R). Como Q não contém intervalos não triviais — pois entre dois racionais sempre existe irracional — concluiremos que f só pode assumir um único valor.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que f não seja constante. Então existem x0,x1in[0,1] tais que
f(x0)neq f(x1)
Sem perda de generalidade, seja
p = f(x0)e q = f(x1),
com p<q.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Intermediário, para todo valor real y em [p,q] existe cin[0,1] tal que
f(c) = y
Em particular, entre p e q existe um número irracional y0. O teorema garante um c com f(c)=y0, mas isso contradiz o fato de f(c) pertencer a Q.

Passo 4

Essa contradição vem da hipótese de que f(x0)neq f(x1). Logo, não pode haver dois pontos em [0,1] com valores distintos de f. Portanto, f é constante em todo [0,1].

Resposta

f é constante.

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