Encontre a solução geral da EDO y^prime prime-2 y^prime+5 y=0 utilizando a equação auxiliar.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+5y=0
O método é usar a equação auxiliar (ou característica) associada, cuja solução nos dará o comportamento exponencial (ou oscilatório) de y(x).

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x)=e^r x
Então
y'(x)=r e^r x, y''(x)=r^2 e^r x
Substituindo na EDO e dividindo por e^r xneq0, obtemos a equação auxiliar
r^2 - 2r + 5 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 2r + 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot52 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2,i
São raízes complexas conjugadas com parte real Re(r)=1 e parte imaginária Im(r)=2.

Passo 4

Quando a equação auxiliar dá raízes r= alphapm ibeta, a solução geral real é
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Aqui alpha=1 e beta=2, logo

Resposta

y(x)=e^xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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