S-3.47 Mostre que
mdc(a^2, b^2)=[,mdc(a, b)]^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que gcd(a^2, b^2) = [gcd(a, b)]^2. Vamos usar a propriedade de que, se definirmos d = gcd(a,b), então podemos escrever a = d,a1 e b = d,b1 com gcd(a1,b1)=1.

Passo 2

Definindo ,d=gcd(a,b), escrevemos
a = d,a1, b = d,b1,
onde gcd(a1,b1)=1. Elevando ao quadrado obtemos
a^2 = d^2,a1^2, b^2 = d^2,b1^2

Passo 3

Pela propriedade de fator comum em gcd, tem-se
gcd(a^2,b^2) = gcd(d^2,a1^2,;d^2,b1^2) = d^2 ,gcd(a1^2,b1^2)

Passo 4

Como gcd(a1,b1)=1, qualquer divisor comum de a1^2 e b1^2 também divide 1, logo
gcd(a1^2,b1^2)=1
Substituindo, concluímos
gcd(a^2,b^2) = d^2 cdot 1 = d^2 = [gcd(a,b)]^2

Resposta

gcd(a^2,b^2)=[gcd(a,b)]^2.

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