Se f(t)=cossec t, encontre f^prime prime(pi / 6).

Passo 1

O enunciado dá f(t)=cossect, isto é, f(t)=csc t, e pede f''(pi/6). Vamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas:
  1. (csc t)' = -csc tcot t.
  2. (cot t)' = -csc^2 t.
    E o produto para derivar -csc tcot t.

Passo 2

Primeiro encontramos a primeira derivada. Como
f(t)=csc t,
temos
f'(t) = (csc t)' = -csc tcot t

Passo 3

Agora derivamos novamente usando produto:
f'(t) = -,csc tcot t ;Longrightarrow; f''(t) = -l((csc t)',cot t + csc t,(cot t)'r)
Substituindo (csc t)' = -csc tcot t e (cot t)' = -csc^2 t, vem
f''(t) = -l(-csc tcot tcdotcot t ;+;csc tcdot(-csc^2 t)r) = csc tcot^2 t + csc^3 t

Passo 4

Fatorando csc t:
f''(t) = csc tl(cot^2 t + csc^2 tr)
Como cot^2 t = csc^2 t -1, temos
cot^2 t + csc^2 t = (csc^2 t -1)+csc^2 t = 2csc^2 t -1,
logo
f''(t) = csc t,(2csc^2 t -1)

Passo 5

Avalia em t=pi/6. Sabemos sin(pi/6)=1/2, logo csc(pi/6)=2 e csc^2(pi/6)=4. Então
f''(pi/6) = 2l(2cdot 4 -1r) = 2cdot 7 = 14

Resposta

14

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