S-3.45 Ache o menor número natural que possui exatamente seis divisores positivos. Faça o mesmo para 15 divisores e para 100 divisores.
S-3.46 Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado contém dois itens. No S-3.45 queremos o menor
com exatamente 6, 15 e 100 divisores. Para isso usamos a fórmula do número de divisores: se
então
No S-3.46 devemos provar que, se
e
, então
. Para isso usaremos argumento com primos (lema de Euclides).
Passo 2
Para 6 divisores queremos
. Como
as escolhas de expoentes são
-
, dando ; -
, dando .
O menor é, pois .
Passo 3
Para 15 divisores queremos
. Como
as escolhas são
-
, ; -
, .
Entree , o menor é .
Passo 4
Para 100 divisores queremos
. A fatoração mais eficiente é
o que sugere quatro primos com expoentes
. Atribuindo os maiores expoentes aos menores primos:
De fato
, e nenhum arranjo com menos primos dá valor menor.
Passo 5
Prova de S-3.46. Suponha
e
. Seja
um primo que divide
. Então
e
. Pelo lema de Euclides, de
segue
ou
. Mas
contraria
, e
contraria
. Logo não existe tal
, o que implica
.
Resposta
No S-3.45 o menor número com 6 divisores é
, com 15 divisores é
e com 100 divisores é
.
No S-3.46 concluímos que .
No S-3.46 concluímos que