S-3.45 Ache o menor número natural que possui exatamente seis divisores positivos. Faça o mesmo para 15 divisores e para 100 divisores.
S-3.46 Mostre que se mdc(a, c)=1 e mdc(b, c)=1, então mdc(a b, c)=1.

Passo 1

O enunciado contém dois itens. No S-3.45 queremos o menor ninN com exatamente 6, 15 e 100 divisores. Para isso usamos a fórmula do número de divisores: se
n = prodi=1^k pi^alphai,
então
tau(n)=prodi=1^k(alphai+1)
No S-3.46 devemos provar que, se gcd(a,c)=1 e gcd(b,c)=1, então gcd(ab,c)=1. Para isso usaremos argumento com primos (lema de Euclides).

Passo 2

Para 6 divisores queremos tau(n)=6. Como
6 = 6ou6=3cdot2,
as escolhas de expoentes são
  • alpha+1=6implies alpha=5, dando n=2^5=32;
  • alpha+1=3, beta+1=2implies alpha=2, beta=1, dando n=2^2cdot3=12.
    O menor é 12, pois 12<32.

Passo 3

Para 15 divisores queremos tau(n)=15. Como
15 = 15ou15=5cdot3,
as escolhas são
  • alpha+1=15implies alpha=14, n=2^14=16384;
  • alpha+1=5, beta+1=3implies alpha=4, beta=2, n=2^4cdot3^2=16cdot9=144.
    Entre 16384 e 144, o menor é 144.

Passo 4

Para 100 divisores queremos tau(n)=100. A fatoração mais eficiente é
100 = 2cdot2cdot5cdot5,
o que sugere quatro primos com expoentes (1,1,4,4). Atribuindo os maiores expoentes aos menores primos:
n = 2^4cdot3^4cdot5^1cdot7^1 = 16cdot81cdot5cdot7 = 45360
De fato tau(45360)=(4+1)(4+1)(1+1)(1+1)=5cdot5cdot2cdot2=100, e nenhum arranjo com menos primos dá valor menor.

Passo 5

Prova de S-3.46. Suponha gcd(a,c)=1 e gcd(b,c)=1. Seja p um primo que divide gcd(ab,c). Então pmid ab e pmid c. Pelo lema de Euclides, de pmid ab segue pmid a ou pmid b. Mas pmid a contraria gcd(a,c)=1, e pmid b contraria gcd(b,c)=1. Logo não existe tal p, o que implica gcd(ab,c)=1.

Resposta

No S-3.45 o menor número com 6 divisores é 12, com 15 divisores é 144 e com 100 divisores é 45360.
No S-3.46 concluímos que gcd(ab,c)=1.

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