Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=xraiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função y = xraiz1 - x^2 . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando regras como a da divisão e a da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar essas regras passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
y = xraiz1 - x^2
Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária para facilitar a derivação:
y = x (1 - x^2)^-1/2

Passo 3

Agora, aplicaremos a regra do produto para derivar y . A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicando, u e v , então a derivada de y = u cdot v é:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Aqui, temos:
u = x e v = (1 - x^2)^-1/2

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u e v :
  • Derivada de u = x :
u' = 1
  • Derivada de v = (1 - x^2)^-1/2 :
    Para isso, usamos a regra da cadeia. Se v = (g(x))^n , então v' = n cdot g(x)^n-1 cdot g'(x) .
    Aqui, g(x) = 1 - x^2 e n = -12 , então:
v' = -12 cdot (1 - x^2)^-3/2 cdot (-2x)
v' = x(1 - x^2)^3/2

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto com os valores encontrados:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo:
y' = 1 cdot (1 - x^2)^-1/2 + x cdot x(1 - x^2)^3/2
y' = 1raiz1 - x^2 + x^2(1 - x^2)^3/2

Passo 6

Para simplificar, vamos colocar os termos sobre um denominador comum:
y' = (1 - x^2) + x^2(1 - x^2)^3/2
Simplificando o numerador:
1 - x^2 + x^2 = 1
Então:
y' = 1(1 - x^2)^3/2

Resposta

A derivada da função é:
y' = 1(1 - x^2)^3/2

Exercícios relacionados