Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando regras como a da divisão e a da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar essas regras passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária para facilitar a derivação:
Passo 3
Agora, aplicaremos a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicando,
e
, então a derivada de
é:
Aqui, temos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Para isso, usamos a regra da cadeia. Se, então .
Aqui,e , então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto com os valores encontrados:
Substituindo:
Passo 6
Para simplificar, vamos colocar os termos sobre um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
A derivada da função é: