Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
s(t)=5 tt^3+1

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função s(t) = 5tt^3 + 1 . Aqui, estamos lidando com o cálculo diferencial, especificamente aplicando a regra do quociente. Para isso, vamos precisar conhecer essa regra e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

A regra do quociente é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Se temos u(t)v(t) , a derivada dessa função é:
( uv )' = u' cdot v - u cdot v'v^2
No nosso caso, u(t) = 5t e v(t) = t^3 + 1 .

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular as derivadas de u(t) e v(t) :
u'(t) = ddt(5t) = 5
v'(t) = ddt(t^3 + 1) = 3t^2

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo u'(t) , v(t) , u(t) e v'(t) na fórmula:
s'(t) = 5 cdot (t^3 + 1) - 5t cdot 3t^2(t^3 + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
5(t^3 + 1) - 5t cdot 3t^2 = 5t^3 + 5 - 15t^3 = -10t^3 + 5

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão da derivada:
s'(t) = -10t^3 + 5(t^3 + 1)^2

Resposta

s'(t) = 5 - 10t^3(t^3 + 1)^2

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