Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas:
[6]
integral t g^5(x) sec ^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^5(x),sec^3(x),dx
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
para reduzir a potência de tan(x) e, em seguida, a substituição
u=sec(x), du=sec(x)tan(x),dx

Passo 2

Reescrevemos o integrando isolando um fator sec(x)tan(x),dx e expressando tan^4(x) em termos de sec(x):
tan^5(x),sec^3(x) =tan^4(x),sec^2(x),l[sec(x)tan(x),dxr]
Como tan^4(x)=(tan^2(x))^2=(sec^2(x)-1)^2, temos
tan^5(x),sec^3(x),dx =(sec^2(x)-1)^2,sec^2(x),l[sec(x)tan(x),dxr]

Passo 3

Fazendo a substituição
u=sec(x), du=sec(x)tan(x),dx,
o integral passa a ser
integral (sec^2(x)-1)^2,sec^2(x),du =integral (u^2-1)^2,u^2,du

Passo 4

Expandimos o polinômio em u:
(u^2-1)^2,u^2 =(u^4-2u^2+1),u^2 =u^6-2u^4+u^2
Integramos termo a termo:
integral(u^6-2u^4+u^2),du =u^77-2cdotu^55+u^33+C

Passo 5

Voltando a variável x com u=sec(x), obtemos
sec^7(x)7 -2,sec^5(x)5 +sec^3(x)3 +C

Resposta

integral tan^5(x),sec^3(x),dx =sec^7(x)7 -2,sec^5(x)5 +sec^3(x)3 +C

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