A que distância de um espelho esférico côncavo, de distância focal 30 cm , deve-se colocar um objeto de 2 cm de altura para que sua imagem seja virtual e tenha 6 cm de altura?

Passo 1

O enunciado pede a posição de um objeto frente a um espelho esférico côncavo de distância focal f = 30\text{ cm} para que sua imagem seja virtual e tenha altura h' = 6\text{ cm}, sendo a altura do objeto h = 2\text{ cm}. Vamos usar as fórmulas de Gauss para espelhos esféricos e a definição de ampliação linear.

Passo 2

Como a imagem é virtual e direita, a ampliação m é positiva e dada por
m = \frac{h'}{h} = \frac{6}{2} = 3.

Passo 3

A relação entre ampliação e distâncias objeto–imagem é
m = -\,\frac{d_i}{d_o},
onde d_o>0 é a distância do objeto (no lado real) e d_i será negativa (pois a imagem virtual forma-se atrás do espelho). Substituindo m=3, temos
-\,\frac{d_i}{d_o} = 3 \quad\Longrightarrow\quad d_i = -3\,d_o.

Passo 4

Aplicando a equação dos espelhos
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},
substituímos f=30\text{ cm} e d_i = -3\,d_o:
\frac{1}{30} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{-3\,d_o} = \frac{1}{d_o}\Bigl(1 - \tfrac{1}{3}\Bigr) = \frac{2}{3\,d_o}.
Isolando d_o, vem
\frac{2}{3\,d_o} = \frac{1}{30} \quad\Longrightarrow\quad d_o = \frac{2}{3}\times 30 = 20\text{ cm}.

Resposta

O objeto deve ser colocado a 20\text{ cm} do espelho.

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