Um fio de cobre de 2 mm de diâmetro com condutividade de 5,8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e uma mobilidade de elétrons de 0,0032\left(\mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V} \cdot \mathrm{s}\right) está sujeito a um campo elétrico de 20(\mathrm{mV} / \mathrm{m}). Determine (a) a densidade volumétrica de carga dos elétrons livres, (b) a densidade de corrente, (c) a corrente que percorre o fio, (d) a velocidade de arrastamento de elétrons e (e) a densidade volumétrica de elétrons livres.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio de cobre de diâmetro d=2\text{ mm}=2\times10^{-3}\text{ m}, condutividade \sigma=5,8\times10^{7}\,\mathrm{S/m}, mobilidade dos elétrons \mu=0,0032\,\mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} e campo elétrico E=20\,\mathrm{mV/m}=0,02\,\mathrm{V/m}. Vamos usar as seguintes relações da teoria de condução em metais:
\sigma = n\,e\,\mu (liga densidade de elétrons livres n à condutividade),
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} (densidade de corrente),
I = J\,A (corrente num fio de área A) e
v_{d} = \mu\,E (velocidade de arrastamento).

Passo 2

Para encontrar a densidade volumétrica de elétrons livres n isolamos n em
\sigma = n\,e\,\mu
onde e=1,6\times10^{-19}\,\mathrm{C}. Assim
n = \frac{\sigma}{e\,\mu} = \frac{5,8\times10^{7}}{(1,6\times10^{-19})(0,0032)} \approx1,13\times10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

A densidade volumétrica de carga dos elétrons livres \rho (módulo) é
\rho = n\,e = (1,13\times10^{29})(1,6\times10^{-19}) \approx1,81\times10^{10}\,\mathrm{C/m^{3}}.
O sinal efetivo é negativo, pois se trata de carga de elétrons: \rho\approx-1,81\times10^{10}\,\mathrm{C/m^{3}}.

Passo 4

A densidade de corrente J é dada por
J = \sigma\,E = (5,8\times10^{7})(0,02) =1,16\times10^{6}\,\mathrm{A/m^{2}}.

Passo 5

A corrente que percorre o fio é
I = J\,A \quad\text{com}\quad A = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^{2} = \pi(1{,}0\times10^{-3})^{2} \approx3,14\times10^{-6}\,\mathrm{m^{2}}.
Logo
I = (1,16\times10^{6})(3,14\times10^{-6}) \approx3,64\,\mathrm{A}.

Passo 6

A velocidade de arrastamento dos elétrons v_{d} é
v_{d} = \mu\,E = (0,0032)(0,02) =6,4\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \rho\approx-1,81\times10^{10}\,\mathrm{C/m^{3}}
(b) J=1,16\times10^{6}\,\mathrm{A/m^{2}}
(c) I\approx3,64\,\mathrm{A}
(d) v_{d}=6,4\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}
(e) n\approx1,13\times10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}

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