O enunciado nos dá o seguinte sistema triangular inferior e pede os valores de x_{1}\), \(x_{2}\) e \(x_{3}\):
\[\begin{cases} 3 x_{1}=6,\\[4pt] 2 x_{1}+x_{2}=8,\\[4pt] x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
São três equações lineares com três incógnitas x_{1}\], \(x_{2}, x_{3}.
O sistema é triangular inferior: a primeira equação envolve apenas x_{1}; a segunda envolve x_{1} e x_{2}; a terceira envolve x_{1},x_{2},x_{3}.
O que se pede é encontrar os valores numéricos de x_{1}, x_{2} e x_{3}.]
Passo 2
Estratégia (explicação didática): em um sistema triangular inferior resolve-se “de cima para baixo” (forward substitution). A ideia é:
A primeira equação contém apenas x_{1}, então resolvemos primeiro x_{1}.
Substituímos o valor de x_{1} na segunda equação para encontrar x_{2}.
Substituímos x_{1} e x_{2} na terceira equação para encontrar x_{3}.
Por que isso funciona? Porque cada equação sucessiva adiciona no máximo uma incógnita nova; uma vez conhecidas as incógnitas anteriores, a equação restante vira uma equação com uma incógnita só, que podemos isolar por operações algébricas básicas (adição, subtração, multiplicação, divisão).
Passo 3
Resolver a primeira equação para x_{1}.
A primeira equação é
3 x_{1}=6.
Para isolar x_{1} dividimos ambos os lados por 3. Isso é válido porque 3\neq0. Assim,
x_{1}=\frac{6}{3}=2.
Interpretação: x_{1} vale 2.
Passo 4
Usar x_{1}=2 na segunda equação para encontrar x_{2}.
A segunda equação é
2 x_{1}+x_{2}=8.
Substituindo x_{1}=2 temos
2\cdot 2 + x_{2}=8.
Calcule 2\cdot 2:
4 + x_{2}=8.
Agora isolamos x_{2} subtraindo 4 de ambos os lados:
x_{2}=8-4=4.
Portanto x_{2}=4.
Passo 5
Usar x_{1}=2 e x_{2}=4 na terceira equação para encontrar x_{3}.
A terceira equação é
x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=0.
Substituindo os valores conhecidos:
2 - 4 + 2 x_{3}=0.
Simplifique 2-4:
-2 + 2 x_{3}=0.
Isolamos 2 x_{3} somando 2 aos dois lados:
2 x_{3}=2.
Dividindo ambos os lados por 2:
x_{3}=\frac{2}{2}=1.
Então x_{3}=1.
Passo 6
Verificação (boa prática): substituir todas as soluções nas três equações para checar.
Primeira equação: 3 x_{1}=3\cdot 2=6 — confere.
Segunda equação: 2 x_{1}+x_{2}=2\cdot 2+4=4+4=8 — confere.