Resolva o sistema triangular inferior:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}=6 \\\ x_{1}+4 x_{2}=11 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=18 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear triangular inferior abaixo e pede para encontrar \,x_1,\;x_2,\;x_3:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}=6 \\[4pt] x_{1}+4 x_{2}=11 \\[4pt] 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=18 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três incógnitas: \,x_1,\;x_2,\;x_3.
  • A matriz de coeficientes é triangular inferior (os coeficientes acima da diagonal principal são todos zero).
  • Os termos constantes no lado direito são \,6,\;11,\;18.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para um sistema com matriz triangular inferior resolve-se sequencialmente da primeira equação para a última — esse procedimento chama-se substituição progressiva (ou forward substitution). A fórmula geral para um sistema \,L x = b onde L é triangular inferior é
x_k=\dfrac{1}{L_{kk}}\left(b_k-\sum_{j=1}^{k-1}L_{kj}\,x_j\right),
onde:
  • \,x_k é a incógnita que estamos calculando no passo k;
  • \,L_{kk} é o elemento da diagonal principal da linha k (deve ser diferente de zero);
  • \,b_k é o termo do lado direito da linha k;
  • a soma \,\sum_{j=1}^{k-1}L_{kj}x_j é sobre os coeficientes já conhecidos multiplicados pelos valores de \,x_j calculados anteriormente.
Agora aplicamos isso diretamente ao sistema dado, linha a linha.

Passo 3

Primeira equação: \,2 x_{1}=6.
Aplicando a fórmula (ou simplesmente isolando \,x_1 dividindo ambos os lados por \,2):
x_{1}=\dfrac{6}{2}=3.
Comentário: aqui \,L_{11}=2 é não nulo, então a divisão é válida.

Passo 4

Segunda equação: \,x_{1}+4 x_{2}=11.
Substitui-se \,x_{1}=3 na segunda equação:
3+4x_{2}=11.
Agora isola-se \,x_{2}:
4x_{2}=11-3=8, \qquad\Rightarrow\qquad x_{2}=\dfrac{8}{4}=2.

Passo 5

Terceira equação: \,3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=18.
Substituem-se \,x_{1}=3 e \,x_{2}=2:
3\cdot 3 + 2\cdot 2 + x_{3}=18.
Calcular os produtos:
9 + 4 + x_{3}=18,
13 + x_{3}=18, \qquad\Rightarrow\qquad x_{3}=18-13=5.

Passo 6

Verificação rápida (substituir as soluções nas três equações originais):
  • Primeira: \,2\cdot 3 = 6 — OK.
  • Segunda: \,3 + 4\cdot 2 = 3 + 8 = 11 — OK.
  • Terceira: \,3\cdot 3 + 2\cdot 2 + 5 = 9 + 4 + 5 = 18 — OK.
Tudo confere; portanto a solução está correta.

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=2
x_{3}=5

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