(45.) Prove that if f is a function of two variables that is differentiable at (a, b), then f is continuous at (a, b).
Hint: Show that
\lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} f(a+\Delta x, b+\Delta y)=f(a, b)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se f é diferenciável em (a,b) então
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f(a+\Delta x,b+\Delta y)=f(a,b),
ou seja, que f é contínua em (a,b). Vamos usar a definição de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e regras de limites.

Passo 2

Como f é diferenciável em (a,b), existem números \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) e \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) e uma função de “resto” R(\Delta x,\Delta y) tal que, para (\Delta x,\Delta y) próximo de (0,0):
f(a+\Delta x,b+\Delta y) = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,\Delta y + R(\Delta x,\Delta y),
com a propriedade
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{R(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} =0.

Passo 3

Começamos analisando a diferença
f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b) =\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,\Delta x +\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,\Delta y +R(\Delta x,\Delta y).
Tomando valor absoluto e usando desigualdade triangular,
\bigl|f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)\bigr| \le \Bigl|\tfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)\Bigr|\;|\Delta x| +\Bigl|\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\Bigr|\;|\Delta y| +|R(\Delta x,\Delta y)|.

Passo 4

Agora note que |\Delta x|\le \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} e o mesmo para |\Delta y|. Logo, existem constantes M_x e M_y tais que
\Bigl|\tfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)\Bigr|\;|\Delta x| +\Bigl|\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\Bigr|\;|\Delta y| \le (M_x+M_y)\,\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},
que tende a 0 quando (\Delta x,\Delta y)\to(0,0). Por outro lado, da propriedade do resto R temos
|R(\Delta x,\Delta y)| = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\,\cdot \frac{|R(\Delta x,\Delta y)|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \to 0\quad\text{quando }(\Delta x,\Delta y)\to(0,0).
Somando, concluímos
\bigl|f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)\bigr|\to 0 \quad\text{quando }(\Delta x,\Delta y)\to(0,0).

Resposta

Portanto
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} f(a+\Delta x,b+\Delta y) = f(a,b),
ou seja, f é contínua em (a,b).

Exercícios relacionados