A model for the surface area of a human body is given by S=0.1091 w^{0.425} h^{0.725}, where w is the weight (in pounds), h is the height (in inches), and S is measured in square feet. If the errors in measurement of w and h are at most 2 \%, use differentials to estimate the maximum percentage error in the calculated surface area.

Passo 1

O enunciado fornece o modelo
S = 0.1091\,w^{0.425}h^{0.725}
onde w é o peso em libras, h é a altura em polegadas e S é a área em pé s^{2}. Queremos, usando diferenciais, estimar o erro percentual máximo em S quando os erros em w e h são de até 2\%.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de S em relação a w e h:
\frac{\partial S}{\partial w} =0.1091\cdot0.425\,w^{0.425-1}h^{0.725}, \quad \frac{\partial S}{\partial h} =0.1091\cdot0.725\,w^{0.425}h^{0.725-1}.
Assim, a diferencial total é
dS =\frac{\partial S}{\partial w}\,dw +\frac{\partial S}{\partial h}\,dh.

Passo 3

Para achar a variação relativa, dividimos por S:
\frac{dS}{S} =0.425\,\frac{dw}{w} +0.725\,\frac{dh}{h}.
No pior caso, tomamos \frac{dw}{w}=0.02 e \frac{dh}{h}=0.02, obtendo
\frac{dS}{S}_{\max} =(0.425+0.725)\times0.02 =1.15\times0.02 =0.023.

Passo 4

Convertendo para porcentagem,
0.023\times100\%=2.3\%.

Resposta

A estimativa do erro percentual máximo em S é de aproximadamente 2.3\%.

Exercícios relacionados