Four positive numbers, each less than 50 , are rounded to the first decimal place and then multiplied together. Use differentials to estimate the maximum possible error in the computed product that might result from the rounding.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro números positivos x_1,x_2,x_3,x_4, cada um menor que 50, que são arredondados à primeira casa decimal. Esse arredondamento introduz um erro \delta x_i com \lvert \delta x_i\rvert\le0,05. Queremos estimar, por diferenciais, o erro máximo no produto
P = x_1\,x_2\,x_3\,x_4
após o arredondamento.

Passo 2

Consideramos a função
P = f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1x_2x_3x_4.
O diferencial total é
dP =\frac{\partial P}{\partial x_1}\,dx_1 +\frac{\partial P}{\partial x_2}\,dx_2 +\frac{\partial P}{\partial x_3}\,dx_3 +\frac{\partial P}{\partial x_4}\,dx_4.
Como \partial P/\partial x_i = (x_1\cdots x_4)/x_i = P/x_i, temos
dP = P\Bigl(\frac{dx_1}{x_1}+\frac{dx_2}{x_2}+\frac{dx_3}{x_3}+\frac{dx_4}{x_4}\Bigr).

Passo 3

Cada erro de arredondamento satisfaz \lvert dx_i\rvert\le0,05. Logo o módulo do erro no produto é estimado por
\lvert dP\rvert \le P\Bigl(\frac{\lvert dx_1\rvert}{x_1}+\frac{\lvert dx_2\rvert}{x_2}+\frac{\lvert dx_3\rvert}{x_3}+\frac{\lvert dx_4\rvert}{x_4}\Bigr) \le P\sum_{i=1}^4\frac{0,05}{x_i}.

Passo 4

Para obter um limite numérico, usamos que cada x_i<50, logo
P = x_1x_2x_3x_4 < 50^4, \quad \frac{P}{x_i} < 50^3.
Portanto
\lvert dP\rvert \le \sum_{i=1}^4\frac{P}{x_i}\,0,05 <4\cdot50^3\cdot0,05.
Calculando, 50^3=125000, então
4\cdot125000\cdot0,05 =4\cdot6250 =25000.

Resposta

A estimativa pelo uso de diferenciais dá que o erro máximo possível no produto é cerca de 25000.

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