[46] A função
, é periódica para algum período?
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se existe algum período
Tneq0 tal que
O conteúdo é periodicidade de função, e vamos usar a propriedade de soma de racional com racional/irracional.
Passo 2
Precisamos achar
Tneq0 que satisfaça
Isto equivale a exigir que, para todo
x ,
“x é racional” se e somente se “
x+T é racional”.
“
Passo 3
Suponha
TinQsetminus0 . Então:
- Se
, como soma de dois racionais é racional, temosxinQ , logox+TinQ .f(x+T)=1=f(x) - Se
, como irracional mais racional é irracional, temosxnotinQ , logox+TnotinQ .f(x+T)=-1=f(x)
Passo 4
Suponha
TnotinQ . Escolha
xinQ . Então
x+TnotinQ , o que dá
logo não há periodicidade.
Passo 5
Concluímos que qualquer
TinQsetminus0 é período de
f , e não há menor período positivo (pois não há mínimo em
Q>0 ).
Resposta
A função é periódica e todo número racional
Tneq0 é seu período.