[46] A função f(x)=rll1 & se & x in Q -1 & se & x notin Q, é periódica para algum período?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 1,&se xinQ, -1,&se xnotinQ,
e pergunta se existe algum período Tneq0 tal que
f(x+T)=f(x)forall xinR
O conteúdo é periodicidade de função, e vamos usar a propriedade de soma de racional com racional/irracional.

Passo 2

Precisamos achar Tneq0 que satisfaça
f(x+T)=f(x)forall x
Isto equivale a exigir que, para todo x,
x é racional” se e somente se “ x+T é racional”.

Passo 3

Suponha TinQsetminus0. Então:
  • Se xinQ, como soma de dois racionais é racional, temos x+TinQ, logo f(x+T)=1=f(x).
  • Se xnotinQ, como irracional mais racional é irracional, temos x+TnotinQ, logo f(x+T)=-1=f(x).

Passo 4

Suponha TnotinQ. Escolha xinQ. Então x+TnotinQ, o que dá
f(x+T)=-1neq1=f(x),
logo não há periodicidade.

Passo 5

Concluímos que qualquer TinQsetminus0 é período de f, e não há menor período positivo (pois não há mínimo em Q>0).

Resposta

A função é periódica e todo número racional Tneq0 é seu período.

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