S-3.46 Mostre que se
e
, então
.
S-3.47 Mostre que
(a)
.
(a)
Passo 1
Para S-3.46 queremos mostrar que, se
e
, então
. O conteúdo aqui é o uso da Identidade de Bézout, que diz que sempre que
existem inteiros
tais que
Passo 2
Como
, existem inteiros
tais que
Como
, existem inteiros
tais que
Passo 3
Multiplicando as duas igualdades obtemos
Logo podemos escrever
onde
e
são inteiros. Pela Identidade de Bézout isso implica
.
Passo 4
Para S-3.47(a) definimos
. Então escrevemos
com
por construção.
Passo 5
Queremos calcular
. Substituindo
e
acima:
Como
é fator comum, podemos tirar fora do máximo divisor comum:
Passo 6
Como
, nenhum primo divide simultaneamente
e
; portanto nenhum primo divide simultaneamente
e
. Isso implica
Logo
Resposta
S-3.46
.
S-3.47(a) .
S-3.47(a)