S-3.46 Mostre que se mdc(a, c)=1 e mdc(b, c)=1, então mdc(a b, c)=1.
S-3.47 Mostre que
(a) mdc(a^2, b^2)=[mdc(a, b)]^2.

Passo 1

Para S-3.46 queremos mostrar que, se gcd(a,c)=1 e gcd(b,c)=1, então gcd(ab,c)=1. O conteúdo aqui é o uso da Identidade de Bézout, que diz que sempre que gcd(x,y)=1 existem inteiros u,v tais que
xu + yv = 1

Passo 2

Como gcd(a,c)=1, existem inteiros x,y tais que
ax + cy = 1
Como gcd(b,c)=1, existem inteiros u,v tais que
bu + cv = 1

Passo 3

Multiplicando as duas igualdades obtemos
1 = (ax + cy)(bu + cv) = ab,(xu) + cl(ax,v + bu,y + c,y,vr)
Logo podemos escrever
1 = (ab),X + c,Y
onde X = xu e Y = ax,v + bu,y + c,y,v são inteiros. Pela Identidade de Bézout isso implica gcd(ab,c)=1.

Passo 4

Para S-3.47(a) definimos d = gcd(a,b). Então escrevemos
a = d,a', b = d,b'
com gcd(a',b')=1 por construção.

Passo 5

Queremos calcular gcd(a^2,b^2). Substituindo a e b acima:
gcd(a^2,b^2) = gcdl(d^2,a'^2,;d^2,b'^2r)
Como d^2 é fator comum, podemos tirar fora do máximo divisor comum:
gcdl(d^2,a'^2,;d^2,b'^2r) = d^2 ,gcdl(a'^2,b'^2r)

Passo 6

Como gcd(a',b')=1, nenhum primo divide simultaneamente a' e b'; portanto nenhum primo divide simultaneamente a'^2 e b'^2. Isso implica
gcdl(a'^2,b'^2r)=1
Logo
gcd(a^2,b^2) = d^2 = l[gcd(a,b)r]^2

Resposta

S-3.46 gcd(ab,c)=1.
S-3.47(a) gcd(a^2,b^2) = [gcd(a,b)]^2.

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